Kuidas arvutada Powerball koefitsiente

Powerball on mitmeastmeline loterii mis on mitme miljoni dollari jackpottide tõttu üsna populaarne. Mõni neist jackpotidest jõuab väärtuseni, mis on tunduvalt üle 100 miljoni dollari. Huvitav quest ioon pärit a tõenäosuslik mõttes on: “Kuidas on koefitsiendid arvutatud tõenäosuse põhjal võites Powerball? ”

Esmalt uurime Powerbuli reegleid, nagu see on praegu konfigureeritud. Iga joonistamise ajal segatakse põhjalikult kaks palli täis trummi ja randomiseeritakse. Esimene trumm sisaldab valgeid palle nummerdatud 1 kuni 59. Viis joonistatakse ilma asendamiseta sellest trummist. Teisel trummel on punased pallid, mis on nummerdatud 1 kuni 35. Üks neist on joonistatud. Eesmärk on sobitada võimalikult palju neid numbreid.

Täielik jackpot võidetakse siis, kui kõik kuus mängija valitud numbrit sobivad ideaalselt joonistatud kuulidega. Osalise sobitamise jaoks on auhindu, mille väärtus on väiksem, kokku üheksa erinevat viisi, kuidas Powerballist mõni dollarisumma võita. Need võiduvõimalused on:

• Kõigi viie valge ja punase palli kokkulangemine võidab peaauhinna jackpoti. Selle väärtus varieerub sõltuvalt sellest, kui kaua on möödunud sellest, kui keegi on selle peaauhinna võitnud.
• Kõigi viie valge palli, kuid mitte punase palli kokkulangemine võidab 1 000 000 dollarit.
• Viiest valgest pallist täpselt nelja ja punase palli kokkulangemine võidab 10 000 dollarit.
• Viiest valgest pallist täpselt nelja kokkulangemine, kuid mitte punane pall, võidab 100 dollarit.
• Viiest valgest pallist täpselt kolme ja punase palli kokkulangemine võidab 100 dollarit.
• Viiest valgest pallist täpselt kolme sobitamine, kuid mitte punane pall, võidab 7 dollarit.
• Viiest valgest pallist täpselt kahe ja punase palli kokkulangemine võidab 7 dollarit.
• Viiest valgest pallist täpselt ühe ja punase palli kokkulangemine võidab 4 dollarit.
• Ainult punase palli sobitamine, kuid ükski valge pall ei võida 4 dollarit.

Vaatleme, kuidas arvutada kõiki neid tõenäosusi. Nendes arvutustes on oluline märkida, et pallide trumlist väljumise järjekord pole oluline. Ainus, mis on oluline, on joonistatud pallide komplekt. Sel põhjusel on meie arvutused seotud kombinatsioonid ja mitte permutatsioonid.

Kõigis allpool toodud arvutustes on kasulik ka joonistatavate kombinatsioonide arv. 59 valgest pallist on viis valitud või kombinatsioonide märkimisel kasutatud C (59, 5) = 5 006 386 viisi. Punase palli valimiseks on 35 viisi, mille tulemuseks on 35 x 5,006,386 = 175,223,510.

Ehkki kõigi kuue kuuli sobitamise jackpot on kõige raskem saada, on selle arvutamine kõige lihtsam. Võimalikust 175 223 510 valikust on jackpoti võitmiseks täpselt üks viis. Seega on tõenäosus, et konkreetne pilet võidab jackpoti, 1/175 223 510.

1 000 000 dollari võitmiseks peame vastama viiele valgele pallile, kuid mitte punasele. Kõigi viie sobitamiseks on ainult üks viis. Punase palli mitte sobitamiseks on 34 viisi. Seega on 1 000 000 dollari võitmise tõenäosus 34/175 223 510 ehk umbes 1/5 153 633.

10 000 dollari suuruse auhinna saamiseks peame vastama viiest valgest pallist neli ja punasele. Neljast viiest vastavusse viimiseks on C (5,4) = 5 viisi. Viies pall peab olema üks ülejäänud 54-st, mida ei joonistatud, ja nii on C (54, 1) = 54 viisil. Punase palli sobitamiseks on ainult üks viis. See tähendab, et täpselt kahe valge ja punase palli sobitamiseks on 5 x 54 x 1 = 270, mis annavad tõenäosuse 270/175, 223 510 või umbes 1/648 976.

Üks viis 100-dollarise auhinna võitmiseks on viiest valgest pallist neli kokku sobitada ja mitte punasega sobitada. Nagu eelmisel juhul, on ka viiest neljast vaste saamiseks C (5,4) = 5 viisi. Viies pall peab olema üks ülejäänud 54-st, mida ei joonistatud, ja nii on C (54, 1) = 54 viisil. Seekord on 34 võimalust, kuidas punasele pallile mitte sobitada. See tähendab, et on olemas 5 x 54 x 34 = 9180 viisi, kuidas täpselt neli valget palli, kuid mitte punast, sobitada, mis annab tõenäosuse 9180 / 175,223,510 või ligikaudu 1 / 19,088.

Teine viis 100-dollarise auhinna võitmiseks on viiest valgest pallist täpselt kolme vaste ja ka punase vastendamine. Kolmest viiest vastavusse viimiseks on C (5,3) = 10 viisi. Ülejäänud valged pallid peavad olema üks ülejäänud 54-st, mida ei joonistatud, ja nii on C (54, 2) = 1431 viisil. Punase palli sobitamiseks on üks viis. See tähendab, et täpselt kolme valge ja punase palli sobitamiseks on 10 x 1431 x 1 = 14,310 moodust, mis annavad tõenäosuse 14,310 / 175,223,510 või umbes 1 / 12,245.

Üks viis 7-dollarise auhinna võitmiseks on viia viiest valgest pallist täpselt kokku kolm ja mitte punane. Kolmest viiest vastavusse viimiseks on C (5,3) = 10 viisi. Ülejäänud valged pallid peavad olema üks ülejäänud 54-st, mida ei joonistatud, ja nii on C (54, 2) = 1431 viisil. Seekord on 34 võimalust, kuidas punasele pallile mitte sobitada. See tähendab, et on olemas 10 x 1431 x 34 = 486 540 viisi, kuidas täpselt kolme valge, kuid mitte punase, palli kokku sobitada, mis annab tõenäosuse 486 540/175 223 510 või umbes 1/360.

Teine viis 7-dollarise auhinna võitmiseks on viiest valgest pallist täpselt kahe vaste ja ka punase sobitamine. Viiest kahega sobitamiseks on C (5,2) = 10 viisi. Ülejäänud valged pallid peavad olema üks ülejäänud 54-st, mida ei joonistatud, ja nii on C (54, 3) = 24 804 moodust. Punase palli sobitamiseks on üks viis. See tähendab, et täpselt kahe valge ja punase kuuli sobitamiseks on 10 x 24 804 x 1 = 248 040, mis annavad tõenäosuse 248 040/175 223 510 või ligikaudu 1/706.

Üks viis 4-dollarise auhinna võitmiseks on sobitada täpselt üks viiest valgest pallist ja sobitada ka punane. Ühest viiest vastavusse viimiseks on C (5,4) = 5 viisi. Ülejäänud valged pallid peavad olema üks ülejäänud 54-st, mida ei joonistatud, ja nii on C (54, 4) = 316 251 viisil. Punase palli sobitamiseks on üks viis. See tähendab, et täpselt ühe valge ja punase palli sobitamiseks on 5 x 316 251 x1 = 1 581 255 moodust, mis annab tõenäosuse 1,581,255 / 175,223,510 või umbes 1/111.

Teine viis 4-dollarise auhinna võitmiseks on mitte viiest valgest pallist kokku leppida, vaid punasega sobitada. Seal on 54 palli, mis ei kuulu ühtegi viiest valitud, ja meil on C (54, 5) = 3 162 510 viisi, kuidas see juhtuda. Punase palli sobitamiseks on üks viis. See tähendab, et ühe palli, välja arvatud punase, sobitamiseks on 3 162 510 viisi, mille tõenäosus on 3 162 510/175 223 510 või umbes 1/55.

See juhtum on mõnevõrra vastuoluline. Punaseid palle on 36, seega võime arvata, et ühele neist sobitamise tõenäosus oleks 1/36. See eirab aga muid valgete pallide seatud tingimusi. Paljud kombinatsioonid, mis hõlmavad õiget punast palli, hõlmavad vasteid ka mõnel valgel kuulil.