Mis on toitekomplekt?

Üks küsimus sisse seatud teooria kas komplekt on teise komplekti alamhulk. Alamhulk A on komplekt, mis moodustatakse, kasutades mõnda komplekti elementi A. Selleks, et B olla alamhulk A, iga element B peab olema ka üks element A.

Igal komplektil on mitu alamhulka. Mõnikord on soovitav teada kõiki võimalikke alamhulki. Selles jõupingutuses aitab jõuseadmena tuntud konstruktsioon. Komplekti võimsus A on komplekt koos elementidega, mis on ka komplektid. See võimsuskomplekt moodustatakse kõigi antud komplekti kõigi alamhulkade kaasamisega A.

Vaatleme kahte näidet toitekomplektidest. Esimese puhul, kui alustame komplektist A = {1, 2, 3}, siis mis võimsus on seatud? Jätkame kõigi kategooria alamrühmade loetlemisega A.

• tühi komplekt on alamhulk A. Tõepoolest tühi komplekt on iga komplekti alamhulk. See on ainus alamhulk, millel pole elemente A.
• Kogumid {1}, {2}, {3} on ainsad alamhulgad A ühe elemendiga.
• Komplektid {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} on ainsad alamhulgad A kahe elemendiga.
• Iga komplekt on iseenda alamhulk. Seega A = {1, 2, 3} on alamhulk A. See on ainus kolme elemendiga alamhulk.

Teise näite puhul kaalume võimsuskomplekti B ={1, 2, 3, 4}. Suur osa sellest, mida me eespool ütlesime, on sarnane, kui mitte nüüd identne:

• Tühi komplekt ja B on mõlemad alamhulgad.
• Kuna sellel on neli elementi B, on ühe elemendiga neli alamhulka: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Kuna iga kolme elemendi alamhulga saab moodustada ühe elemendi elimineerimise teel B ja elemente on neli, on selliseid alamhulki neli: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Jääb kindlaks määrata kahe elemendiga alamhulgad. Moodustame kahest elemendist koosneva alamhulga 4 hulgast. See on kombinatsioon ja on C (4, 2) = 6 neist kombinatsioonidest. Alamrühmad on: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

Komplekti võimsuse määramiseks on kaks võimalust A tähistatakse. Üks viis selle tähistamiseks on sümboli kasutamine Lk( A), kus mõnikord see kiri Lk on kirjutatud stiliseeritud skriptiga. Veel üks märkus võimsuskomplekti kohta A on 2^A. Seda märget kasutatakse toitekomplekti ühendamiseks toitekomplekti elementide arvuga.

Uurime seda märkust lähemalt. Kui A on piiratud komplekt koos n elemente, siis selle võimsuse komplekt P (A ) on 2ⁿ elemente. Kui töötame lõpmatu komplektiga, siis pole abiks mõelda 2-leⁿ elemente. Kuid Cantori teoreem ütleb meile, et komplekti ja selle võimsuse komplekti kardinaalsus ei saa olla sama.

Matemaatikas oli lahtine küsimus, kas loendamatult lõpmatu komplekti võimsuskomplekti kardinaalsus vastab reaalide kardinaalsusele. Selle küsimuse lahendamine on üsna tehniline, kuid ütleb, et võime valida, kas tuvastada kardinaalsused või mitte. Mõlemad viivad järjepideva matemaatilise teooriani.

Tõenäosuse teema põhineb seatud teoorial. Universaalsetele komplektidele ja alamhulkadele viitamise asemel räägime hoopis näidisruumid ja sündmused. Mõnikord soovime prooviruumiga töötades kindlaks teha selle prooviruumi sündmused. Võimsuse komplekt, mis meil on, annab meile kõik võimalikud sündmused.