Loendamine võib tunduda lihtsa ülesandena. Kui läheme sügavamale matemaatika tuntud kui kombinatoorika, mõistame, et oleme kokku puutunud mõne suure hulgaga. Alates faktoorne kuvatakse nii tihti ja arv nagu 10! on suurem kui kolm miljonit, võib probleemide loendamine muutuda väga kiiresti keeruliseks, kui proovime loetleda kõik võimalused.
Mõnikord, kui kaalume kõiki võimalusi, mida meie loendamisprobleemid võivad kasutada, on lihtsam läbi mõelda probleemi aluspõhimõtted. See strateegia võib võtta palju vähem aega kui julma jõu proovimine, et loetleda mitu kombinatsioonid või permutatsioonid.
Küsimus "Mitu viisi saab midagi ära teha?" on täiesti erinev küsimus kui "Millised on viisid et midagi saab ära teha? "Seda ideed näeme töös järgmises väljakutseid arvestavas loendis probleemid.
Järgmine küsimuste komplekt hõlmab sõna TRIANGLE. Pange tähele, et tähti on kokku kaheksa. Mõistagem, et vokaalid sõna TRIANGLE on AEI ja sõna TRIANGLE kaashäälikud on LGNRT. Tõelise väljakutse saamiseks uurige enne edasist lugemist nende probleemide versiooni ilma lahendusteta.
Probleemid
- Mitu viisi saab sõna TRIANGLE tähti paigutada?
Lahendus: Siin on esimese tähe jaoks kokku kaheksa valikut, teise jaoks seitse, kolmanda jaoks kuus ja nii edasi. Korrutamise põhimõtte abil korrutame kokku 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40 320 erinevat viisi. - Mitu viisi saab sõna TRIANGLE tähti paigutada, kui kolm esimest tähte peavad olema RAN (selles täpses järjekorras)?
Lahendus: Kolm esimest tähte on meie jaoks valitud, jättes meile viis tähte. Pärast RAN-i on meil järgmise kirja jaoks viis valikut, millele järgneb neli, siis kolm, siis kaks, siis üks. Korrutamispõhimõtte järgi on 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 viisi tähtede kindlaksmääratud viisil paigutamiseks. - Mitu viisi saab sõna TRIANGLE tähti paigutada, kui kolm esimest tähte peavad olema RAN (suvalises järjekorras)?
Lahendus: Vaadake seda kahe iseseisva ülesandena: esimene tähtede RAN ja teine ülejäänud viie tähe korraldamisel. Neid on 3! = 6 viisi RAN-i korraldamiseks ja 5! Viis ülejäänud tähte korraldamise viisid. Nii et neid on kokku 3! x 5! = 720 viisi, kuidas TRIANGLE tähti vastavalt täpsusele paigutada. - Mitu viisi saab sõna TRIANGLE tähti paigutada, kui kolm esimest tähte peavad olema RAN (suvalises järjekorras) ja viimane täht peab olema vokaal?
Lahendus: Vaadake seda kolme ülesandena: esimene paigutab tähed RAN, teine valib ühe täishääliku I ja E hulgast ja kolmas korraldab ülejäänud neli tähte. Neid on 3! = 6 viisi RAN-i korraldamiseks, 2 viisi vokaali valimiseks ülejäänud tähtede hulgast ja 4! Ülejäänud nelja tähe korraldamise viisid. Nii et neid on kokku 3! X 2 x 4! = 288 viisi, kuidas TRIANGLE tähti vastavalt täpsusele paigutada. - Mitu viisi saab sõna TRIANGLE tähti paigutada, kui kolm esimest tähte peavad olema RAN (suvalises järjekorras) ja järgmised kolm tähte TRI (igas järjekorras)?
Lahendus: Jällegi on meil kolm ülesannet: esimene tähtede RAN paigutamine, teine tähtede TRI korraldamine ja kolmas kahe ülejäänud tähte paigutamine. Neid on 3! = 6 viisi RANi korraldamiseks, 3! viisid TRI korraldamiseks ja kaks võimalust muude kirjade korraldamiseks. Nii et neid on kokku 3! x 3! X 2 = 72 viisi, kuidas TRIANGLE tähti tähestiku järgi paigutada. - Mitu erinevat moodi saab sõna TRIANGLE tähti seada, kui täishäälikute järjekorda ja paigutust ei saa muuta?
Lahendus: Kolm täishäälikut tuleb hoida samas järjekorras. Nüüd on kokku viis kaashäälikut, mida korraldada. Seda saab teha viies! = 120 viisi. - Mitu erinevat moodi saab sõna TRIANGLE tähti seada, kui täishäälikuid IAE ei saa neid võib muuta, ehkki nende paigutus võib (IAETRNGL ja TRIANGEL on vastuvõetavad, kuid EIATRNGL ja TRIENGLA on mitte)?
Lahendus: Kõige parem on seda mõelda kahes etapis. Esimene samm on valida kohad, kus täishäälikud lähevad. Valime siin kaheksast kohast kolm ja järjekord, mille järgi seda teeme, pole oluline. See on kombinatsioon ja neid on kokku C(8,3) = 56 viisi selle sammu täitmiseks. Ülejäänud viis tähte võib olla paigutatud viieks! = 120 viisi. See annab kokku 56 x 120 = 6720 paigutust. - Mitu erinevat moodi saab sõna TRIANGLE tähti paigutada, kui täishäälikute IAE järjekorda saab muuta, ehkki nende paigutus ei pruugi olla?
Lahendus: See on tõesti sama, mis eespool nr 4, kuid erinevate tähtedega. Korraldame kolm tähte 3-s! = 6 viisi ja ülejäänud viis tähte 5-s! = 120 viisi. Selle paigutuse viiside koguarv on 6 x 120 = 720. - Mitu erinevat moodi saab sõna TRIANGLE kuut tähte paigutada?
Lahendus: Kuna me räägime kokkuleppest, on see permutatsioon ja neid on kokku Lk( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 viisi. - Mitu erinevat viisi saab korraldada sõna TRIANGLE kuus tähte, kui vokaalide ja kaashäälikute arv peab olema võrdne?
Lahendus: Vokaalide valimiseks, mida kavatseme paigutada, on ainult üks viis. Kaashäälikuid saab valida sissejuhatuses C(5, 3) = 10 viisi. Seal on siis 6! kuue tähe korraldamise viisid. Korrutage need arvud tulemuseks 7200. - Mitu erinevat viisi saab paigutada sõna TRIANGLE kuus tähte, kui peab olema vähemalt üks kaashäälik?
Lahendus: Iga kuue tähe paigutus vastab tingimustele, seega on olemas Lk(8, 6) = 20 160 moodust. - Mitu erinevat moodust saab korraldada sõna TRIANGLE kuut tähte, kui täishäälikud peavad vahelduma kaashäälikutega?
Lahendus: Võimalusi on kaks, esimene täht on täishäälik või esimene täht on kaashäälik. Kui esimene täht on täishäälik, on meil kolm valikut, millele järgneb viis kaashäälikule, kaks teisele vokaalile, neli teisele kaashäälikule, üks viimasele täishäälikule ja kolm viimast kaashäälikule. Korrutame selle, et saada 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Sümmeetriaargumentide järgi on sama arv kokkuleppeid, mis algavad kaashäälikuga. See annab kokku 720 korda. - Mitu erinevat nelja tähe komplekti võib sõnast TRIANGLE moodustada?
Lahendus: Kuna me räägime a seatud neli tähte kokku kaheksast, pole järjekord oluline. Peame arvutama kombinatsiooni C(8, 4) = 70. - Mitu erinevat nelja tähe komplekti võib moodustada sõnast TRIANGLE, millel on kaks täishäälikut ja kaks kaashäälikut?
Lahendus: Moodustame siin oma komplekti kahes etapis. Seal on C(3, 2) = 3 viisi kahe täishääliku valimiseks 3-st. Seal on C(5, 2) = 10 viisi, kuidas valida konsonantide seast viiest. See annab kokku 3x10 = 30 komplekti. - Mitu erinevat nelja tähe komplekti võib sõnast TRIANGLE moodustada, kui soovime vähemalt ühte vokaali?
Lahendus: Seda saab arvutada järgmiselt:
- Komplektide arv neli ühe vokaaliga on neli C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
- Kahe vokaaliga nelja komplekti arv on C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
- Kolme vokaaliga neljakomplektide arv on C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.
See annab kokku 65 erinevat komplekti. Teise võimalusena võiksime arvutada, et neljast tähest koosneva komplekti moodustamiseks ja arvu lahutamiseks on 70 viisi C(5, 4) = 5 viisi vokaalideta komplekti saamiseks.