Läbi matemaatika ja statistika peame teadma, kuidas loendada. See puudutab eriti mõnda tõenäosus probleemid. Oletame, et meile antakse kokku n erinevad objektid ja soovite valida r nendest. See puudutab otseselt matemaatika valdkonda, mida nimetatakse kombinatoorikaks, milleks on loenduse uurimine. Kaks peamist viisi nende loendamiseks r objektid n elemente nimetatakse permutatsioonideks ja kombinatsioonideks. Need mõisted on üksteisega tihedalt seotud ja neid on lihtne segi ajada.
Mis vahe on kombinatsioonil ja permutatsioonil? Põhiidee on korra mõte. Permutatsioon pöörab tähelepanu meie objektide valimise järjekorrale. Sama objektide komplekt, kuid teistsuguses järjekorras võtmine annab meile erinevad permutatsioonid. Kombinatsiooni abil valime ikkagi r objekte kokku n, kuid tellimust enam ei arvestata.
Permutatsioonide näide
Nende ideede eristamiseks kaalume järgmist näidet: mitu permutatsiooni on komplektist kahe tähega {a, b, c}?
Siin loetleme kõik antud komplekti elemendipaarid, pöörates samal ajal tähelepanu tellimusele. Permutatsioone on kokku kuus. Kõigi nende loetelu on: ab, ba, bc, cb, ac ja ca. Pange tähele, et permutatsioonidena
ab ja ba on erinevad, sest ühel juhul a valiti esimeseks ja teiseks a valiti teiseks.Näide kombinatsioonidest
Nüüd vastame järgmisele küsimusele: mitu komplekti on kaks tähte komplektist {a, b, c}?
Kuna tegemist on kombinatsioonidega, ei hooli me enam tellimusest. Saame selle probleemi lahendada, vaadates tagasi permutatsioonidele ja kõrvaldades need, mis sisaldavad samu tähti. Kombinatsioonidena ab ja ba peetakse samadeks. Seega on ainult kolm kombinatsiooni: ab, ac ja bc.
Valemid
Olukordades, kus me suuremate komplektidega kokku puutume, on kõigi võimalike permutatsioonide või kombinatsioonide loetlemine ja lõpptulemuse arvestamine liiga aeganõudev. Õnneks on olemas valemeid, mis annavad meile permutatsioonide või kombinatsioonide arvu n võetud objektid r korraga.
Nendes valemites kasutame lühendit n! kutsus nfaktoorne. Faktoriaal ütleb lihtsalt, et kõik positiivsed täisarvud tuleks korrutada väiksemaks või võrdseks n koos. Nii näiteks 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Definitsiooni järgi 0! = 1.
Permutatsioonide arv n võetud objektid r korraga on antud järgmise valemi abil:
Lk(n,r) = n!/(n - r)!
Kombinatsioonide arv n võetud objektid r korraga on antud järgmise valemi abil:
C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]
Valemid tööl
Valemite nägemiseks tööl vaatame esialgset näidet. Kolmest objektist koosneva komplekti permutatsioonide arv korraga võetakse kahega Lk(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. See vastab täpselt sellele, mille saime kõigi permutatsioonide loetlemisega.
Kolmest objektist koosneva kombinatsiooni arv, mis võetakse korraga kaks, arvutatakse järgmise valemi abil:
C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. See vastab jälle täpselt sellele, mida me varem nägime.
Valemid säästavad kindlasti aega, kui meil palutakse leida suurema komplekti permutatsioonide arv. Näiteks mitu permutatsiooni on kümnest objektist, mis võetakse korraga kolm? Kõigi permutatsioonide loetlemiseks kulub natuke aega, kuid valemite abil näeme, et seal oleks:
Lk(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutatsiooni.
Põhiidee
Mis vahe on permutatsioonide ja kombinatsioonide vahel? Põhimõte on see, et tellimustega seotud olukordade loendamisel tuleks kasutada permutatsioone. Kui järjekord pole oluline, tuleks kasutada kombinatsioone.