Mis on Markovi ebavõrdsus?

Markovi ebavõrdsus on kasulik tõenäosuse tulemus, mis annab teavet a kohta tõenäosusjaotus. Tähelepanuväärne aspekt on see, et ebavõrdsus kehtib ka positiivsete väärtustega jaotuse korral, ükskõik mis muud omadused sellel on. Markovi ebavõrdsus annab jaotuse protsendi, mis ületab teatud väärtuse, ülemise piiri.

Markovi ebavõrdsus ütleb seda positiivse juhusliku muutuja kohta X ja kõik positiivsed tegelik arva, tõenäosus, et X on suurem või võrdne a on väiksem või võrdne väärtusega oodatud väärtus kohta X jagatuna a.

Ülaltoodud kirjelduse saab lühidalt öelda matemaatilise märkuse abil. Sümbolites kirjutame Markovi ebavõrdsuse järgmiselt:

Lk (X ≥ a) ≤ E( X) /a

Ebavõrdsuse illustreerimiseks oletagem, et meil on jaotus mittenegatiivsete väärtustega (näiteks a chi-ruutjaotus). Kui see juhuslik muutuja X eeldatava väärtusega 3, vaatame mõne väärtuse tõenäosust a.

• Sest a = 10 ütleb Markovi ebavõrdsus Lk (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Seega on 30% tõenäosus X on suurem kui 10.
instagram viewer
• Sest a = 30 ütleb Markovi ebavõrdsus Lk (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Seega on olemas 10% tõenäosus X on suurem kui 30.
• Sest a = 3 ütleb Markovi ebavõrdsus Lk (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Sündmused, mille tõenäosus on 1 = 100%, on kindlad. Nii öeldakse, et juhusliku muutuja mõni väärtus on suurem kui 3 või sellega võrdne. See ei tohiks olla liiga üllatav. Kui kõik väärtused X olid alla 3, siis oleks ka eeldatav väärtus väiksem kui 3.
• Väärtusena a suureneb, jagatis E(X) /a muutuvad väiksemaks. See tähendab, et tõenäosus on väga väike X on väga-väga suur. Jällegi, eeldatava väärtusega 3, ei saa me eeldada, et jaotust oleks palju ja väärtus oleks väga suur.

Kui me teame rohkem levitamisest, millega töötame, siis saame tavaliselt Markovi ebavõrdsust parandada. Selle kasutamise väärtus on see, et see kehtib kõigi mittenegatiivsete väärtustega jaotuste korral.

Näiteks kui me teame põhikooli õpilaste keskmist kõrgust. Markovi ebavõrdsus ütleb meile, et mitte rohkem kui kuuendikul õpilastest võib olla kõrgem, kui keskmine kõrgus on kuus korda suurem.

Markovi ebavõrdsuse teine ​​peamine kasutamine on tõestamine Tšebõševi ebavõrdsus. Selle fakti tulemusel kasutatakse nime “Tšebõševi ebavõrdsus” ka Markovi ebavõrdsuse suhtes. Ebavõrdsuste nimetamise segadus on tingitud ka ajaloolistest asjaoludest. Andrei Markov oli Pafnuty Chebyshevi õpilane. Tšebõševi teos sisaldab ebavõrdsust, mis omistatakse Markovale.