Sümmeetrilise erinevuse mõiste mõistmine

Määra teooria kasutab vanade uute komplektide konstrueerimiseks mitmeid erinevaid toiminguid. Teatud elementide valimiseks antud komplektidest on teisi viise, teiste välistades. Tulemuseks on tavaliselt komplekt, mis erineb algsest. Oluline on nende uute komplektide konstrueerimiseks täpselt määratletud viisid ja nende näidete hulka kuuluvad liit, ristmikja kahe komplekti erinevus. Võib-olla vähem tuntud komplekti operatsiooni nimetatakse sümmeetriliseks erinevuseks.

Sümmeetrilise erinevuse määratluse mõistmiseks peame kõigepealt mõistma sõna "või". Ehkki sõnal 'või' on ingliskeelses tähenduses vähe, on sellel kaks erinevat kasutust. See võib olla eksklusiivne või kaasav (ja seda kasutati selles lauses ainult). Kui meile öeldakse, et võime valida A või B hulgast ja mõte on ainuõige, siis võib meil olla ainult üks kahest võimalusest. Kui mõistus on kaasav, võib meil olla A, meil võib olla B või nii A kui ka B.

Tavaliselt juhendab kontekst meid selle sõna vastu astudes või ei pea me isegi mõtlema, kuidas seda kasutatakse. Kui meilt küsitakse, kas me sooviksime endasse koort või suhkrut

Sõna "või" kasutatakse seega liidu määratluses kaasavas tähenduses. Komplektide A ja B liit on kas A või B elementide komplekt (kaasa arvatud need elemendid, mis asuvad mõlemas komplektis). Kuid tasub omada komplekti operatsiooni, mis konstrueerib komplekti, mis sisaldab elemente A või B, kus sõna "või" kasutatakse ainult tähenduses. Seda kutsume sümmeetriliseks erinevuseks. Komplektide A ja B sümmeetriline erinevus on need elemendid A või B, kuid mitte nii A kui ka B. Ehkki tähistused sümmeetrilise erinevuse osas varieeruvad, kirjutame selle järgmiselt A ∆ B

Sümmeetrilise erinevuse näitel kaalume komplekte A = {1,2,3,4,5} ja B = {2,4,6}. Nende komplektide sümmeetriline erinevus on {1,3,5,6}.

Sümmeetrilise erinevuse määratlemiseks saab kasutada muid komplekteeritud toiminguid. Ülaltoodud määratluse põhjal on selge, et võime väljendada A ja B sümmeetrilist erinevust A ja B liitmise ning A ja B ristumiste erinevusena. Sümbolites kirjutame: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Samaväärne avaldis, kasutades mõnda erinevat komplekti operatsiooni, aitab selgitada nime sümmeetrilist erinevust. Ülaltoodud sõnastuse asemel võime sümmeetrilise erinevuse kirjutada järgmiselt: (A - B) ∪ (B - A). Siin näeme jälle, et sümmeetriline erinevus on elementide kogum A-s, kuid mitte B-s, või B-s, kuid mitte A-st. Seega oleme need elemendid A ja B ristumiskohas välja jätnud. Matemaatiliselt on võimalik tõestada, et need kaks valemit on ekvivalentsed ja viitavad ühele ja samale komplektile.

Nime sümmeetriline erinevus viitab seosele kahe komplekti erinevusega. See erinevus on ilmne mõlemas ülaltoodud valemis. Mõlemas neist arvutati kahe komplekti erinevus. Mis eristab sümmeetrilise erinevuse erinevusest, on selle sümmeetria. Ehituse abil saab A ja B rolle muuta. See ei kehti kahe komplekti erinevuse kohta.

Selle punkti rõhutamiseks näeme vaid väikese tööga sümmeetrilise erinevuse sümmeetriat, kuna näeme A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.