Osade kaupa integreerimine on üks paljudest integratsioonitehnikatest, mida kasutatakse kalkulatsioon. Seda integratsioonimeetodit võib mõelda viisile, kuidas seda lõimida toote reegel. Selle meetodi kasutamise üheks raskuseks on selle määramine, milline funktsioon meie integrandis peaks vastama millisele osale. LIPET-i lühendit saab kasutada juhiste saamiseks meie integraali osade jagamiseks.
Integreerimine osade kaupa
Tuletage meelde lõimimise meetodit osade kaupa. Selle meetodi valem on järgmine:
∫ u dv = uv - ∫ v du.
See valem näitab, millise integrandi osaga võrdsustada sa, ja milline osa võrdub d-gav. LIPET on tööriist, mis aitab meid selles ettevõtmises.
LIPETi lühend
Sõna “LIPET” on akronüüm, mis tähendab, et iga täht tähistab sõna. Sel juhul tähistavad tähed erinevat tüüpi funktsioone. Need identifitseerimised on:
- L = logaritmiline funktsioon
- I = trigonomeetriline pöördfunktsioon
- P = Polünoomfunktsioon
- E = eksponentsiaalfunktsioon
- T = trigonomeetriline funktsioon
See annab süstemaatilise loetelu sellest, mida proovida võrdsustada
u integreerimisel osade kaupa valemis. Kui on logaritmiline funktsioon, proovige see võrdsustada u, kusjuures ülejäänud integrand on võrdne d-gav. Kui logaritmilisi või pöördfunktsioone pole, proovige seada polünoom võrdseks u. Allpool toodud näited aitavad selle lühendi kasutamist selgitada.Näide 1
Mõelge ∫ x lnx dx. Kuna logaritmiline funktsioon on olemas, seadke see funktsioon võrdseks u = ln x. Ülejäänud integrand on dv = x dx. Sellest järeldub, et du = dx / x ja see v = x2/ 2.
Selle järelduse võib leida katse-eksituse meetodil. Teine võimalus oleks olnud seada u = x. Seega du oleks väga lihtne arvutada. Probleem tekib siis, kui vaatame dv = lnx. Integreerige see funktsioon tuvastamiseks v. Kahjuks on selle arvutamine väga keeruline integraal.
Näide 2
Vaatleme integraali ∫ x kuna x dx. Alustage LIPETis kahe esimese tähega. Puuduvad logaritmilised funktsioonid või pöördvõrdelised trigonomeetrilised funktsioonid. LIPET-i järgmine täht, P, tähistab polünoome. Kuna funktsioon x on polünoom, komplekt u = x ja dv = cos x.
See on õige valik integreerimiseks osade kaupa, nagu du = dx ja v = patt x. Terviklikuks saab:
x patt x - ∫ patt x dx.
Integri omandamine toimub patu sirgjoonelise integreerimise kaudu x.
Kui LIPET ebaõnnestub
Mõnel juhul LIPET ebaõnnestub, mis nõuab seadistamist u võrdub funktsiooniga, mis pole LIPETi ette nähtud. Sel põhjusel tuleks seda lühendit mõelda ainult mõtete korraldamise viisina. Lühendamine LIPET annab meile ka strateegia ülevaate, mida proovida integratsiooni kasutamisel osade kaupa. See ei ole matemaatiline teoreem või põhimõte, mis on alati viis, kuidas töötada läbi osade kaupa integreerimise probleem.