Oluline osa järeldusliku statistika kohta on hüpoteesi testimine. Nagu matemaatikaga seotud asjade õppimisel, on kasulik läbi vaadata mitu näidet. Järgnevalt uuritakse hüpoteesitesti näidet ja arvutatakse selle tõenäosus I ja II tüüpi vead.
Eeldame, et lihtsad tingimused kehtivad. Täpsemalt eeldame, et meil on lihtne juhuslik valim elanikkonnast, kes on kas tavaliselt jaotatud või on piisavalt suur valimi suurus, mida saame kasutada keskne piiriteoreem. Samuti eeldame, et teame elanikkonna standardhälvet.
Probleemi kirjeldus
Kott kartulikrõpse on pakendatud kaalu järgi. Kokku ostetakse, kaalutakse üheksa kotti ja nende üheksa koti keskmine kaal on 10,5 untsi. Oletame, et kõigi selliste kiibikottide populatsiooni standardhälve on 0,6 untsi. Kõigil pakkidel on märgitud kaal 11 untsi. Seadke olulisuse tase 0,01.
küsimus 1
Kas valim toetab hüpoteesi, et tegelik populatsiooni keskmine on alla 11 untsi?
Meil on alumine sabakatse. Seda näeb meie avaldus null- ja alternatiivhüpoteesid:
- H0: μ=11.
- Ha: μ < 11.
Testi statistika arvutatakse valemi abil
z = (x-riba - μ0)/(σ/√n) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.
Nüüd peame kindlaks tegema, kui tõenäoline see väärtus on z on tingitud juhusest üksi. Kasutades tabelit z-skooride järgi näeme tõenäosust, et z on väiksem või võrdne -2,5 on 0,0062. Kuna see p-väärtus on väiksem kui olulisuse tase, lükkame nullhüpoteesi tagasi ja aktsepteerime alternatiivset hüpoteesi. Kõigi kottide laastude keskmine kaal on alla 11 untsi.
2. küsimus
Milline on I tüüpi vea tõenäosus?
I tüüpi viga ilmneb siis, kui lükkame tagasi tõese nullhüpoteesi. Sellise vea tõenäosus on võrdne olulisuse tasemega. Sel juhul on meie olulisuse tase 0,01, seega on see I tüüpi vea tõenäosus.
3. küsimus
Kui populatsiooni keskmine on tegelikult 10,75 untsi, siis kui tõenäoline on II tüübi viga?
Alustame oma otsuse reegli ümbersõnastamist valimi keskmise osas. Tähtsuse taseme 0,01 korral lükkame tagasi nullhüpoteesi, kui z < -2.33. Ühendades selle väärtuse testi statistika valemiga, lükkame tagasi nullhüpoteesi, kui
(x-bar - 11) / (0,6 / √ 9)
Samamoodi lükkame tagasi nullihüpoteesi, kui 11 - 2,33 (0,2)> x-riba või millal x-riba on väiksem kui 10,534. Me ei suuda lükata tagasi nullhüpoteesi x-riba 10,534 või rohkem. Kui tegelik populatsiooni keskmine on 10,75, siis tõenäosus, et x-riba on suurem või võrdne 10,534 on võrdne tõenäosusega, et z on suurem või võrdne -0,22. See tõenäosus, mis on II tüüpi vea tõenäosus, võrdub 0,587.