Üldine parameetrid jaoks tõenäosusjaotus sisaldama keskmist ja standardhälvet. Keskmine väärtus näitab keskpunkti ja standardhälve näitab jaotuse jaotust. Lisaks neile tuntud parameetritele on veel teisi, mis juhivad tähelepanu muudele omadustele peale leviku või keskpunkti. Üks selline mõõtmine on vildakus. Kaldus annab võimaluse kinnitada numbriline väärtus jaotuse asümmeetriale.
Üks oluline jaotus, mida uurime, on eksponentsiaalne jaotus. Näeme, kuidas tõestada, et eksponentsiaalse jaotuse kaldus on 2.
Eksponentsiaalse tõenäosuse tiheduse funktsioon
Alustuseks määrame eksponentsiaalse jaotuse tõenäosustiheduse funktsiooni. Neil jaotustel on parameeter, mis on seotud parameetriga seotud Poissoni protsess. Me tähistame seda jaotust täpsusega (A), kus A on parameeter. Selle jaotuse tõenäosustiheduse funktsioon on:
f(x) = e-x/ A/ A, kus x on mittenegatiivne.
Siin e on matemaatiline pidev e see on umbes 2,718281828. Eksponentsiaalse jaotuse Exp (A) keskmine ja standardhälve on mõlemad seotud parameetriga A. Tegelikult on keskmine ja standardhälve mõlemad võrdsed A-ga.
Kalduse määratlus
Kaldus on defineeritud avaldisega, mis on seotud keskpunkti kolmanda hetkega. See väljend on eeldatav väärtus:
E [(X - μ)3/σ3] = (E [X3] - 3μ E [X2] + 3μ2E [X] - μ3)/σ3 = (E [X3] – 3μ(σ2 – μ3)/σ3.
Asendame μ ja σ A-ga ja tulemuseks on, et kaldus on E [X3] / A3 – 4.
Jääb vaid arvutada kolmas hetk päritolu kohta. Selleks peame integreerima järgmise:
∫∞0x3f(x) dx.
Sellel integraalil on oma piiride suhtes lõpmatus. Seega saab seda hinnata I tüübi sobimatu integraalina. Peame ka otsustama, millist integratsioonitehnikat kasutada. Kuna integreerimisfunktsioon on polünoomi ja eksponentsiaalse funktsiooni tulemus, peaksime seda kasutama integratsioon osade kaupa. Seda integratsioonitehnikat rakendatakse mitu korda. Lõpptulemus on järgmine:
E [X3] = 6A3
Seejärel ühendame selle oma varasema võrrandiga viltu. Näeme, et kaldus on 6 - 4 = 2.
Mõju
Oluline on märkida, et tulemus ei sõltu konkreetsest eksponentsiaalsest jaotusest, millest alustame. Eksponentsiaalse jaotuse viltus ei sõltu parameetri A väärtusest.
Lisaks näeme, et selle tulemus on positiivne. See tähendab, et jaotus on paremale kaldu. See ei tohiks olla üllatav, kui mõelda tõenäosustiheduse funktsiooni graafiku kujule. Kõigi selliste jaotuste y-ristlõige on 1 // teeta ja graafi paremasse serva ulatuv saba, mis vastab muutuja kõrgetele väärtustele x.
Alternatiivne arvutus
Muidugi peaksime mainima ka seda, et viltuuse arvutamiseks on veel üks viis. Eksponentsiaalse jaotuse jaoks saame kasutada momendi genereerimise funktsiooni. Süsteemi esimene tuletis hetke genereeriv funktsioon 0-ga hinnatud annab meile E [X]. Samamoodi annab momendi genereerimise funktsiooni kolmas tuletis, kui seda hinnata 0-ga, E (X3].