Mis on negatiivne binoomjaotus?

Negatiivne binoomjaotus on a tõenäosusjaotus mida kasutatakse diskreetsete juhuslike muutujatega. Seda tüüpi jaotamine hõlmab katsete arvu, mis peavad toimuma ettemääratud arvu õnnestumiste saamiseks. Nagu näeme, on negatiivne binoomjaotus seotud binoomjaotus. Lisaks sellele üldistab see jaotus geomeetrilist jaotust.

Alustuseks vaatame nii seadistust kui ka tingimusi, mis põhjustavad negatiivse binoomjaotuse. Paljud neist tingimustest on väga sarnased binomiaalse seadistusega.

1. Meil on Bernoulli eksperiment. See tähendab, et igal meie läbi viidaval katsel on selgelt määratletud edu ja ebaõnnestumine ning see on ainus tulemus.
2. Edu tõenäosus on püsiv sõltumata sellest, mitu korda katset läbi viime. Me tähistame seda pidevat tõenäosust a-ga lk.
3. Katse korratakse X sõltumatud uuringud, mis tähendab, et ühe uuringu tulemus ei mõjuta järgneva uuringu tulemusi.

Need kolm tingimust on identsed binomiaalse jaotuse tingimustega. Erinevus on see, et binoomilisel juhuslikul muutujal on kindel arv katseid n. Ainsad väärtused X on 0, 1, 2,..., n, nii et see on piiratud jaotus.

Negatiivne binoomjaotus on seotud katsete arvuga X see peab toimuma seni, kuni meil on r õnnestumisi. Number r on täisarv, mille valime enne katsete alustamist. Juhuslik muutuja X on endiselt diskreetne. Nüüd võib juhuslik muutuja võtta väärtusi X = r, r + 1, r + 2,... See juhuslik muutuja on arvestamatult lõpmatu, kuna enne selle saamist võib kuluda suvaliselt palju aega r õnnestumisi.

Negatiivse binoomjaotuse mõistmiseks tasub kaaluda näidet. Oletame, et libistame õiglase mündi ja esitame küsimuse: "Kui suur on tõenäosus, et saame esimeses kolm pead X münt libiseb? "See on olukord, mis nõuab negatiivset binoomjaotust.

Mündikleebistel on kaks võimalikku väljundit, õnnestumise tõenäosus on konstant 1/2 ja katsed on nad üksteisest sõltumatud. Küsime tõenäosust, et pärast seda saavad kolm esimest pead X münt klapib. Seega peame mündi vähemalt kolm korda klappima. Seejärel jätkame flipimist, kuni ilmub kolmas pea.

Negatiivse binoomjaotusega seotud tõenäosuste arvutamiseks vajame veel natuke teavet. Peame teadma tõenäosuse massifunktsiooni.

Negatiivse binoomjaotuse tõenäosuse massifunktsiooni saab natuke järele mõelda. Igal katsel on õnnestumise tõenäosus, mille annab lk. Kuna võimalikke tulemusi on ainult kaks, tähendab see, et ebaõnnestumise tõenäosus on püsiv (1 - lk ).

rth edu peab toimuma xkolmas ja viimane kohtuprotsess. Eelmine x - 1 katse peab täpselt sisaldama r - 1 õnnestumisi. Selle tekkevõimaluste arvu näitab kombinatsioonide arv:

C (x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Lisaks sellele on meil sõltumatuid sündmusi ja seega saame oma tõenäosused omavahel korrutada. Kui see kõik kokku panna, saame tõenäosusmassi funktsiooni

f(x) = C (x - 1, r -1) lk^r(1 - lk)^{x - r}.

Nüüd saame aru, miks sellel juhuslikul muutujal on binoomjaotus negatiivne. Ülaltoodud kombinatsioonide arvu saab seadistades kirjutada erinevalt x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

Siin näeme negatiivse binoomide koefitsiendi ilmumist, mida kasutatakse siis, kui tõstame binoomi avaldise (a + b) negatiivseks.

Jaotuse keskmist on oluline teada, kuna see on üks viis jaotuse keskpunkti tähistamiseks. Seda tüüpi juhusliku muutuja keskmine arv on selle eeldatav väärtus ja on võrdne r / lk. Saame seda hoolikalt tõestada, kasutades hetke genereeriv funktsioon selle jaotuse jaoks.

Intuitsioon juhib meid ka selle väljenduseni. Oletame, et viime läbi rea katseid n₁ kuni saame r õnnestumisi. Ja siis me teeme seda uuesti, ainult see aeg võtab n₂ kohtuprotsessid. Jätkame seda ikka ja jälle, kuni meil on suur arv katsete rühmi N = n₁ + n₂ +... +n_k.

Kõik need k uuringud sisaldavad r õnnestumisi ja seega on meid kokku kr õnnestumisi. Kui N on suur, siis võiksime oodata umbes Np õnnestumisi. Seega võrdsustame need omavahel ja on kr = Np.

Teeme natuke algebrat ja leiame selle N / k = r / p. Selle võrrandi vasakpoolses osas olev murdosa on meie kõigi jaoks vajalike katsete keskmine arv k katsete rühmad. Teisisõnu, see on eeldatav arv kordi, et katse läbi viia, nii et meil on kokku r õnnestumisi. See on täpselt see ootus, mida me soovime leida. Me näeme, et see võrdub valemiga r / p.

Negatiivse binoomjaotuse dispersiooni saab arvutada ka momendi genereerimise funktsiooni abil. Kui me seda teeme, näeme selle jaotuse dispersiooni järgmise valemi abil:

r (1 - lk)/lk²

Seda tüüpi juhuslike muutujate hetke genereerimise funktsioon on üsna keeruline. Tuletame meelde, et momendi genereerimise funktsioon on määratletud kui eeldatav väärtus E [e^tX]. Kasutades seda määratlust oma tõenäosuse massifunktsiooniga, on meil:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] e^tXlk^r(1 - lk)^{x - r}

Pärast mõnda algebrat saab sellest M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Eespool nägime, kuidas negatiivne binoomjaotus sarnaneb mitmes mõttes binoomjaotusega. Lisaks sellele seosele on negatiivne binoomjaotus geomeetrilise jaotuse üldisem versioon.

Geomeetriline juhuslik muutuja X loendab enne esimese edu saavutamist vajalike katsete arvu. On lihtne näha, et see on täpselt negatiivne binoomjaotus, kuid koos r võrdne ühega.

Negatiivse binoomjaotuse teised formulatsioonid on olemas. Mõni õpik määratleb X olema katsete arv kuni r tõrked tekivad.

Vaatleme näiteprobleemi, et näha, kuidas töötada negatiivse binoomjaotusega. Oletame, et korvpallur on 80% vabaviske laskur. Lisaks eeldage, et ühe vabaviske tegemine ei sõltu järgmise tegemisest. Milline on tõenäosus, et selle mängija jaoks tehakse kaheksas korv kümnendal vabaviskel?

Näeme, et meil on seadistus negatiivseks binoomjaotuseks. Pidev õnnestumise tõenäosus on 0,8 ja seega on ebaõnnestumise tõenäosus 0,2. Tahame määrata X = 10 tõenäosuse, kui r = 8.

Me ühendame need väärtused oma tõenäosusmassi funktsiooni:

f (10) = C (10-1, 8-1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², mis on umbes 24%.

Seejärel võiksime küsida, kui palju on keskmiselt vabu viskeid, enne kui see mängija teeb neist kaheksa. Kuna eeldatav väärtus on 8 / 0,8 = 10, on see kaadrite arv.