Arvutused gammafunktsiooni abil

gammafunktsioon on määratletud järgmise keerulise väljanägemisega valemiga:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Üks küsimus, mis inimestel tekib, kui nad esimest korda selle segase võrrandiga kokku puutuvad, on järgmine: „Kuidas kasutada seda valemit gammafunktsioon? ” See on oluline küsimus, kuna on raske teada, mida see funktsioon isegi tähendab ja mida kõik sümbolid tähistavad jaoks.

Üks võimalus sellele küsimusele vastata on vaadata mitmeid gammafunktsiooniga näidisarvutusi. Enne kui me seda teeme, peame teadma arvukalt asju, näiteks kuidas integreerida I tüübi sobimatut integraali, ja et e on matemaatiline konstant.

Enne arvutuste tegemist uurime nende arvutuste motivatsiooni. Mitu korda kuvatakse gammafunktsioone kulisside taga. Gammafunktsiooni osas on esitatud mitu tõenäosustiheduse funktsiooni. Nendeks näideteks on gammajaotus ja õpilaste t-jaotus. Gammafunktsiooni olulisust ei saa üle tähtsustada.

Esimene arvutusnäide, mida uurime, on ma (1) gammafunktsiooni väärtuse leidmine. See leitakse seadistades z = 1 ülaltoodud valemis:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Ülaltoodud integraali arvutame kahes etapis:

• Määramatu integraal ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• See on vale integraal, nii et meil on ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Järgmine näitearvutus, mida me kaalume, on sarnane viimase näitega, kuid suurendame z 1-ga. Nüüd arvutame setting (2) gammafunktsiooni väärtuse seadistades z = 2 ülaltoodud valemis. Sammud on samad, mis ülalpool:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Määramatu integraal ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Kuigi me oleme ainult suurendanud z 1-ga kulub selle integraali arvutamiseks rohkem tööd. Selle integraali leidmiseks peame kasutama kalkuleeritud tehnikat, mida nimetatakse integratsioon osade kaupa. Nüüd kasutame integratsiooni piire nagu ülalpool ja peame arvutama:

lim_{b → ∞}- ole ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

L’Hospitali reeglina tuntud arvutuse tulemus võimaldab meil arvutada limiidi piirmäära_{b → ∞}- ole ^{- b} = 0. See tähendab, et meie ülaltoodud integraali väärtus on 1.

Veel üks gammafunktsiooni omadus ja see, mis ühendab selle funktsiooniga faktoorne on valem Γ (z +1 ) =zΓ (z ) jaoks z ükskõik milline positiivse numbriga arv päris osa. Põhjus, miks see tõsi on, on gammafunktsiooni valemi otsene tulemus. Osade kaupa integreerimise abil saame selle gammafunktsiooni omaduse kindlaks teha.