Kõik lõpmatud komplektid pole ühesugused. Üks viis nende komplektide eristamiseks on küsida, kas komplekt on arvestatav lõpmatu või mitte. Sel moel ütleme, et lõpmatu komplekt on kas loendatav või loendamatu. Vaatleme mitmeid näiteid lõpmatute komplektide kohta ja otsustame, millised neist on loendamatud.
Arvestamatult lõpmatu
Alustuseks välistame mitu lõpmatute komplektide näidet. Paljud lõpmatutest komplektidest, millest me kohe mõtleksime, leitakse olevat loendamatult lõpmatud. See tähendab, et neid saab seostada naturaalarvudega üks-ühele vastavusse.
Naturaalarvud, täisarvud ja ratsionaalsed numbrid on kõik lõpmatuseni. Loendatav on ka loendamatult lõpmatute komplektide liitumine või ristumine. Mis tahes arvu loendatavate komplektide Cartesiuse toode on loendatav. Arvestatav on ka iga loendatava komplekti alamhulk.
Loendamatu
Kõige tavalisem loendamatute komplektide sisestamine on intervalli (0, 1) arvestamine reaalarvud. Sellest faktist ja üks-ühele funktsioonist f( x ) = bx + a. see on otsene järeldus näidata, et iga intervall (a, b) reaalarvude arv on loendamatult lõpmatu.
Kogu reaalarvude komplekt on samuti loendamatu. Üks viis selle näitamiseks on kasutada üks-ühele puutujafunktsiooni f ( x ) = päevitunud x. Selle funktsiooni domeen on intervall (-π / 2, π / 2), loendamatu hulk ja vahemik on kõigi reaalarvude kogum.
Muud loendamatud komplektid
Põhikomplekti teooria toimingute abil saab rohkem loendamatu lõpmatu komplekti näiteid toota:
- Kui A on alamhulk B ja A on loendamatu, nii on ka B. See annab selgema tõendi, et kogu reaalarvude komplekt on loendamatu.
- Kui A on loendamatu ja B on mis tahes komplekt, siis liit A U B on ka loendamatu.
- Kui A on loendamatu ja B on mis tahes komplekt, siis Descartessi toode A x B on ka loendamatu.
- Kui A on lõpmatu (isegi loendamatult lõpmatu), siis toitekomplekt of A on loendamatu.
Kaks muud üksteisega seotud näidet on mõnevõrra üllatavad. Mitte iga reaalarvu alamhulk pole loendamatult lõpmatu (tõepoolest, ratsionaalsed numbrid moodustavad reaalide loendatava alamhulga, mis on samuti tihe). Teatud alamhulgad on loendamatult lõpmatud.
Üks nendest loendamatult lõpmatutest alamhulkadest hõlmab teatud tüüpi kümnendkoha laiendeid. Kui valime kaks numbrit ja moodustame iga võimaliku kümnendkoha laienemise ainult nende kahe numbriga, siis on tulemuseks olev lõpmatu komplekt loendamatu.
Teise komplekti ehitamine on keerulisem ja samuti loendamatu. Alustage suletud intervalliga [0,1]. Eemaldage selle komplekti keskmine kolmandik, tulemuseks on [0, 1/3] U [2/3, 1]. Nüüd eemaldage komplekti igast ülejäänud tükist keskmine kolmandik. Nii (1/9, 2/9) ja (7/9, 8/9) eemaldatakse. Jätkame sel viisil. Punktide kogum, mis jääb alles pärast kõigi nende intervallide eemaldamist, ei ole intervall, kuid see on vaieldamatult lõpmatu. Seda komplekti nimetatakse kantori komplektiks.
Seal on lõpmata palju loendamatuid komplekte, kuid ülaltoodud näited on mõned kõige sagedamini esinevad komplektid.