Mis on arv? No see sõltub. Seal on palju erinevaid numbreid, millest igaühel on oma konkreetsed omadused. Üks omamoodi number, mille peale statistika, tõenäosus ja suur osa matemaatikast põhineb, nimetatakse reaalarvuks.
Pärisnumbri teadasaamiseks tutvume kõigepealt lühikese ringiga muud tüüpi numbritega.
Numbrite tüübid
Kõigepealt õpime lugema numbreid. Alustasime numbrite 1, 2 ja 3 sobitamisest sõrmedega. Siis liikusime nii kõrgele kui võimalik, mis ilmselt polnudki nii kõrge. Need loendusarvud või naturaalarvud olid ainsad numbrid, millest me teadsime.
Hiljem lahutamisega tegeledes negatiivne tutvustati terveid numbreid. Positiivsete ja negatiivsete täisarvude komplekti nimetatakse täisarvudeks. Vahetult pärast seda kaaluti ratsionaalseid numbreid, mida nimetatakse ka murdudeks. Kuna igat täisarvu saab kirjutada murdarvuna nimetajas 1, siis ütleme, et täisarvud moodustavad ratsionaalarvude alamhulga.
iidsed kreeklased taipasin, et kõiki numbreid ei saa moodustada murdosaga. Näiteks ei saa ruutjuuri 2 väljendada murdarvuna. Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks numbriteks. Irratsionaalseid numbreid on külluses ja teatud mõttes üllatavalt on irratsionaalseid numbreid rohkem kui ratsionaalseid numbreid. Muud irratsionaalsed numbrid hõlmavad
pi ja e.Kümnendmurrulaiendid
Iga reaalarvu saab kirjutada kümnendkohaga. Erinevat tüüpi reaalarvudel on erinevat tüüpi komalaiendid. Ratsionaalse arvu kümnendkoha laiendamine lõpeb, näiteks 2, 3.25 või 1.2342, või kordub, näiteks .33333.. Või .123123123.. . Vastupidiselt sellele on irratsionaalarvu kümnendpaisumine määramatu ja mittekorduv. Me näeme seda pi täpsusega kümnendmurdes. Pi jaoks on olemas lõputu numbrijada ja mis veel enam, pole ühtegi numbrijada, mis korduks lõputult.
Pärisnumbrite visualiseerimine
Reaalseid numbreid saab visualiseerida, seostades igaüks neist sirgjoonega lõpmatu arvu punktidega. Pärisarvudel on järjestus, mis tähendab, et kahe erineva reaalarvu korral võime öelda, et üks on suurem kui teine. Tavapäraselt vastab reaalnumbri real vasakule liikumine väiksematele numbritele. Pärisnumbririda mööda paremale liikumine vastab suuremale ja suuremale arvule.
Pärisnumbrite põhilised omadused
Pärisarvud käituvad nagu teised numbrid, millega oleme harjunud tegelema. Saame neid liita, lahutada, korrutada ja jagada (seni, kuni me ei jaga nulli). Liitmise ja korrutamise järjekord ei ole oluline, kuna seal on kommutatiivne omadus. Jaotuv omadus näitab meile, kuidas korrutamine ja liitmine üksteisega mõjutavad.
Nagu varem mainitud, omavad reaalarvud järjekorda. Arvestades suvalist kahte reaalarvu x ja y, me teame, et tõsi on üks ja ainus järgmistest:
x = y, x < y või x > y.
Veel üks omadus - täielikkus
Omadus, mis eristab reaalarvud teistest numbrikomplektidest, nagu ka ratsionaalid, on omadus, mida tuntakse täielikkuse järgi. Täielikkus on natuke tehniline, et seda seletada, kuid intuitiivne arusaam on, et ratsionaalsete arvude komplektis on lüngad. Pärisarvude komplektil ei ole lünki, kuna see on täielik.
Näitena vaatleme ratsionaalsete arvude 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, järjestust... Selle jada iga termin on lähend pi-ga, mis saadakse koma kärpimise teel pi jaoks. Selle jada tingimused lähenevad pi-le lähemale. Nagu me juba mainisime, pole pi siiski ratsionaalne arv. Numbrirea aukude ühendamiseks peame kasutama irratsionaalseid numbreid, võttes arvesse ainult ratsionaalseid numbreid.
Mitu pärisnumbrit?
Ei tohiks olla üllatus, et reaalseid numbreid on lõpmatu arv. Seda on üsna lihtne näha, kui arvestada, et täisarvud moodustavad reaarvude alamhulga. Samuti nägime seda, kui mõistame, et numbrijoonel on lõpmatu arv punkte.
Üllatav on see, et reaalarvude loendamiseks kasutatav lõpmatus on teistsugune kui tervete arvude loendamiseks kasutatav lõpmatus. Terved arvud, täisarvud ja ratsionaalid on kokku loetamatud. Pärisarvude komplekt on loendamatult lõpmatu.
Miks helistada neile päris?
Pärisnumbrid saavad oma nime, eristamaks neid veelgi täiendavalt üldistades arvu mõistet. Kujutatav arv i on defineeritud kui negatiivse ruutjuur. Mis tahes tegelik arv korrutatuna i on tuntud ka kui kujuteldav arv. Kujuteldavad numbrid venitavad kindlasti meie ettekujutust numbrist, kuna need pole üldse see, mida me mõtlesime, kui esimest korda lugema õppisime.