Üks populaarseim viis tõenäosuse uurimiseks on täringute veeretamine. Standardvormil on kuus külge, millele on trükitud väikesed punktid, mille numbrid on 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Kui surm on õiglane (ja seda me ka teeme oletame et nad kõik on), siis on kõik need tulemused võrdselt tõenäolised. Kuna võimalikke väljundeid on kuus, on stantsi ükskõik millise külje saamise tõenäosus 1/6. A 1 veeremise tõenäosus on 1/6, a 2 veeremise tõenäosus on 1/6 jne. Aga mis juhtub, kui lisame veel ühe stantsi? Millised on kahe täringu veeretamise tõenäosused?
Täringutärje tõenäosus
Täringurulli tõenäosuse õigeks määramiseks peame teadma kahte asja:
- Suurus proovipind või võimalike tulemuste kogum
- Kui sageli mõni sündmus toimub
Sisse tõenäosus, on sündmus valimiruumi teatud alamhulk. Näiteks kui veeretatakse ainult üks stants, nagu ülaltoodud näites, on prooviruum võrdne kõigi stantsi või komplekti väärtustega (1, 2, 3, 4, 5, 6). Kuna stants on õiglane, esineb komplektis iga number ainult üks kord. Teisisõnu, iga numbri sagedus on 1. Mõne mudeli numbrite veeremise tõenäosuse jagamiseks jagame sündmuse sageduse (1) prooviruumi (6) suurusega, mille tulemuseks on 1/6.
Kahe õiglase täringu veeretamine kahekordistab tõenäosuste arvutamise raskust. Selle põhjuseks on asjaolu, et ühe stantsi valtsimine ei sõltu teise surumisest. Üks rull ei mõjuta teist. Sõltumatute sündmustega tegelemisel kasutame korrutamisreegel. Puuskeemi kasutamine näitab, et kahe täringu veeremisel on 6 x 6 = 36 võimalikku tulemust.
Oletame, et esimene meilt keeratav stants tuleb välja kui 1. Teine stantsirull võib olla 1, 2, 3, 4, 5 või 6. Oletame nüüd, et esimene stants on 2. Teine stantsirull võib olla jällegi 1, 2, 3, 4, 5 või 6. Oleme juba leidnud 12 potentsiaalset tulemust ja esimese suremise võimalused on veel ammendatud.
Kahe täringu veeremise tõenäosustabel
Kahe täringu veeretamise võimalikud tulemused on esitatud allolevas tabelis. Pange tähele, et võimalike tulemuste koguarv võrdub esimese stantsi proovimahuga (6) korrutatud teise stantsi (6) prooviruumi järgi, mis on 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Kolm või enam täringut
Sama põhimõte kehtib ka siis, kui töötame edasi probleemid, mis hõlmavad kolme täringut. Korrutame ja näeme, et võimalikke tulemusi on 6 x 6 x 6 = 216. Kuna korduva korrutamise kirjutamine on tülikas, saame töö lihtsustamiseks kasutada eksponente. Kahe täringu jaoks on 62 võimalikud tulemused. Kolme täringu jaoks on 63 võimalikud tulemused. Üldiselt, kui me veeretame n täringut, siis on neid kokku 6n võimalikud tulemused.
Prooviprobleemid
Selle teadmisega saame lahendada igasuguseid tõenäosusprobleeme:
1. Kaks kuuepoolset täringut veeretatakse. Milline on tõenäosus, et kahe täringu summa on seitse?
Lihtsaim viis selle probleemi lahendamiseks on ülaltoodud tabel. Te märkate, et igas reas on üks täringute rull, kus kahe täringu summa on võrdne seitsmega. Kuna rida on kuus, on võimalik kuus tulemust, kus kahe täringu summa on seitse. Võimalike tulemuste koguarv on endiselt 36. Jällegi leiame tõenäosuse, jagades sündmuse sageduse (6) valimiruumi (36) suurusega, mille tulemuseks on tõenäosus 1/6.
2. Kaks kuuepoolset täringut veeretatakse. Kui suur on tõenäosus, et summa kahest täringust on kolm?
Eelmises ülesandes võisite märgata, et lahtrid, kus kahe täringu summa on võrdne seitsmega, moodustavad diagonaali. Sama kehtib ka siin, välja arvatud sel juhul on ainult kaks lahtrit, kus täringute summa on kolm. Selle põhjuseks on asjaolu, et selle tulemuse saavutamiseks on ainult kaks võimalust. Peate veeretama 1 ja 2 või 2 ja 1. Kombinatsioonid seitsme summa veeretamiseks on palju suuremad (1 ja 6, 2 ja 5, 3 ja 4 jne). Et leida tõenäosus, et kahe täringu summa on kolm, saame sündmuse sageduse (2) jagada valimiruumi (36) suurusega, mille tulemuseks on tõenäosus 1/18.
3. Kaks kuuepoolset täringut veeretatakse. Kui suur on tõenäosus, et numbrid täringul on erinevad?
Jällegi saame selle probleemi hõlpsalt lahendada, kasutades ülaltoodud tabelit. Võite märgata, et lahtrid, kus täringul olevad numbrid on samad, moodustavad diagonaali. Neid on ainult kuus ja kui me need ületame, on meil alles ülejäänud lahtrid, mille täringul olevad numbrid on erinevad. Võime võtta kombinatsioonide arvu (30) ja jagada selle valimiruumi suurusega (36), mille tulemuseks on tõenäosus 5/6.