Miks nullfaktor on võrdne?

Nullfaktor on matemaatiline avaldis mitmete mooduste korraldamiseks, mille korral andmekogu ei sisalda väärtusi, mis võrdub ühega. Üldiselt faktoorne Arvu number on lühike viis korrutuslause kirjutamiseks, kus arv korrutatakse iga arvuga, mis on väiksem kui see, kuid suurem kui null. 4! Näiteks = 24 on sama kui 4 x 3 x 2 x 1 = 24 kirjutamine, kuid sama võrrandi väljendamiseks kasutatakse faktoriaalarvust (neli) paremal asuvat hüüumärki.

Nendest näidetest on üsna selge, kuidas arvutada suuremat täisarvu, mis on suurem kui või võrdne ühega, kuid miks on nullfaktorväärtus üks, hoolimata matemaatilisest reeglist, et miski korrutatud nulliga on võrdne nulliga?

Faktoriaalse määratluse kohaselt on 0! = 1. Tavaliselt ajavad inimesed seda võrrandi esmakordset nägemist segadusse, kuid näeme allpool näited, miks see on mõttekas, kui vaadata nulli määratlust, permutatsioone ja valemeid faktoorne.

Esimene põhjus, miks nullfaktoritegur on võrdne ühega, on see, et definitsiooni kohaselt peaks see olema, mis on matemaatiliselt korrektne seletus (kui see mõnevõrra ei vasta). Siiski tuleb meeles pidada, et faktoriaaldefinitsioon on kõigi täisarvude korrutis, mis on väärtusega V või vähem algne arv - teisisõnu, faktoriaal on võimalike kombinatsioonide arv, kui numbrid on sellest väiksemad või sellega võrdsed number.

Kuna nullil pole mitte vähem numbreid kui see, kuid see on siiski iseenesest number, on selle andmekogumi korraldamise üks võimalik kombinatsioon: seda ei saa. Seda peetakse endiselt selle korraldamise viisiks, nii et definitsiooni järgi on nullfaktoriaal võrdne ühega, nagu ka 1! on võrdne ühega, kuna selles andmekogumis on ainult üks võimalik paigutus.

Selle paremaks mõistmiseks, kuidas see on matemaatiliselt mõistlik, on oluline arvestada, et selliseid faktoriaale kasutatakse võimaliku teabe järjekorra määramiseks jada, tuntud ka kui permutatsioonid, võib olla kasulik mõistmisel, et isegi kui tühjas või nullkomplektis pole väärtusi, on siiski üks viis, kuidas komplekt on korraldatud.

A permutatsioon on konkreetne, ainulaadne elementide järjekord komplektis. Näiteks on komplekti {1, 2, 3} kuus permutatsiooni, mis sisaldab kolme elementi, kuna võime neid elemente kirjutada kuuel viisil:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

Selle fakti võiksime välja tuua ka võrrandi 3 kaudu! = 6, mis on permutatsioonide kogu komplekti faktoorne esitus. Sarnasel viisil on neid 4! = Nelja ja 5 elemendiga komplekti 24 permutatsiooni! = Viie elemendiga komplekti 120 permutatsiooni. Nii et alternatiivne viis faktoriaalile mõelda on lasta n ole loomulik arv ja ütle seda n! on komplekti permutatsioonide arv n elemente.

Selle faktoriaalmõtlemisviisi üle vaatame veel paar näidet. Komplekt kahe elemendiga on kaks permutatsiooni: {a, b} võib olla paigutatud a, b või b, a. See vastab 2-le! = 2. Ühe elemendiga komplektil on üks permutatsioon, kuna komplekti {1} elementi 1 saab tellida ainult ühel viisil.

See viib meid nullini faktoriaalideni. Nullielementidega komplekti nimetatakse tühi komplekt. Nullfaktoriaalse väärtuse leidmiseks küsime: “Mitmel viisil saab tellida elementideta komplekti?” Siinkohal peame oma mõtlemist pisut venitama. Isegi kui tellida pole midagi, on selleks üks viis. Seega on meil 0! = 1.

Veel üks põhjus 0 määratlemiseks! = 1 on seotud valemiga, mida me kasutame permutatsioonide ja kombinatsioonide jaoks. See ei selgita, miks nullfaktoriaal on üks, kuid see näitab, miks sätte 0! = 1 on hea mõte.

Kombinatsioon on komplekti elementide rühmitamine järjekorda arvestamata. Näiteks kaaluge komplekti {1, 2, 3}, milles on üks kombinatsioon, mis koosneb kõigist kolmest elemendist. Ükskõik, kuidas me neid elemente korraldame, on meil lõpuks sama kombinatsioon.

Me kasutame kombinatsioonide valem kolme elemendi kombinatsiooniga, mis võetakse korraga kolm, ja näete, et 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!) Ja kui käsitleme 0! kui tundmatu kogus ja lahendame algebraliselt, näeme, et 3! 0! = 3! ja nii 0! = 1.

On ka teisi põhjuseid, miks 0 määratlus! = 1 on õige, kuid ülaltoodud põhjused on kõige arusaadavamad. Matemaatika üldine idee on see, et kui uued ideed ja määratlused konstrueeritakse, jäävad need alles kooskõlas teiste matemaatikatega ja see on täpselt see, mida me näeme nullfaktoriaalide määratluses võrdne ühega.