valimi standardhälve on kirjeldav statistika, mis mõõdab kvantitatiivse andmekogumi levikut. See arv võib olla ükskõik milline mittenegatiivne reaalarv. Kuna null on mittenegatiiv tegelik arv, tasub küsida: “Millal on valimi standardhälve null?” See juhtub väga erilisel ja väga ebatavalisel juhul, kui kõik meie andmeväärtused on täpselt samad. Uurime põhjuseid, miks.
Standardhälbe kirjeldus
Kaks olulist küsimust, millele me tavaliselt andmekogumiga vastata tahame, on järgmised:
- Mis on andmekogumi keskpunkt?
- Kui laiali on kogum andmeid?
Nendele küsimustele vastavad erinevad mõõtmised, mida nimetatakse kirjeldavaks statistikaks. Näiteks andmete kese, tuntud ka kui keskmine, saab kirjeldada keskmise, mediaani või režiimi järgi. Võib kasutada ka muud vähem tuntud statistikat, näiteks keskel või trimean.
Meie andmete levitamiseks võiksime kasutada vahemikku, kvartiilidevaheline vahemik või standardhälve. Standardhälve on meie andmete leviku kvantifitseerimiseks ühendatud keskmisega. Seejärel saame seda numbrit kasutada mitme andmekogumi võrdlemiseks. Mida suurem on meie standardhälve, seda suurem on erinevus.
Intuitsioon
Mõelgem sellest kirjeldusest, mida tähendaks nullpunkti standardhälve. See viitaks sellele, et meie andmekogumis pole üldse levikut. Kõik üksikud andmeväärtused koondatakse ühte väärtusesse. Kuna meie andmetel oleks ainult üks väärtus, oleks see väärtus meie valimi keskmine.
Sellises olukorras, kui kõik meie andmeväärtused on samad, ei toimu erinevusi. Intuitiivselt on mõistlik, et sellise andmekogumi standardhälve oleks null.
Matemaatiline tõestus
Valimi standardhälve on määratletud valemiga. Seega tuleks iga valemi abil tõestada sellist väidet nagu ülaltoodud. Alustame andmekogumiga, mis sobib ülaltoodud kirjeldusega: kõik väärtused on identsed ja neid on n väärtused on võrdsed x.
Arvutame selle andmekogumi keskmise ja näeme, et see on nii
x = (x + x +... + x)/n = nx/n = x.
Kui arvutame üksikute kõrvalekallete keskmisest, näeme, et kõik need kõrvalekalded on null. Järelikult on ka dispersioon ja ka standardhälve võrdsed nulliga.
Vajalik ja piisav
Me näeme, et kui andmekogum ei näita variatsioone, siis on selle standardhälve null. Võime küsida, kas vestlema selle väite punkt vastab tõele. Et näha, kas see on nii, kasutame uuesti standardhälbe valemit. Seekord seame aga standardhälbe nulliks. Me ei tee oma andmekogumi osas mingeid eeldusi, vaid näeme, millist seadistust see võimaldab s = 0 tähendab
Oletame, et andmekogumi standardhälve on võrdne nulliga. See tähendaks, et valimi dispersioon s2 on võrdne ka nulliga. Tulemuseks on võrrand:
0 = (1/(n - 1)) ∑ (xi - x )2
Korrutame võrrandi mõlemad pooled n - 1 ja vaadake, et ruuthälvete summa on võrdne nulliga. Kuna me töötame reaalarvudega, on ainus viis selle ilmnemiseks, kui kõik ruudude hälbed on võrdsed nulliga. See tähendab, et iga i, mõiste (xi - x )2 = 0.
Nüüd võtame ülaltoodud võrrandi ruutjuure ja näeme, et iga kõrvalekalle keskmisest peab olema võrdne nulliga. Kuna kõigi jaoks i,
xi - x = 0
See tähendab, et iga andmeväärtus on võrdne keskmisega. See tulemus koos ülaltoodud tulemusega võimaldab öelda, et andmekogumi valimi standardhälve on null siis ja ainult siis, kui kõik selle väärtused on identsed.