Lainete matemaatilised omadused

Füüsikalised lained või mehaanilised lained, moodustuvad keskkonna vibratsiooni kaudu, olgu selleks nöör, maapõue või gaaside ja vedelike osakesed. Lainetel on matemaatilised omadused, mida saab laine liikumise mõistmiseks analüüsida. See artikkel tutvustab neid üldisi laineomadusi, selle asemel, et neid füüsika konkreetsetes olukordades rakendada.

Mehaanilisi laineid on kahte tüüpi.

A on selline, et keskkonna nihked on laine liikumissuunaga piki keskkonda risti (risti). Nööri vibreerimine perioodilises liikumises, nii et lained liiguvad mööda seda, on põiklaine, nagu ka lained ookeanis.

A pikilaine on selline, et keskkonna nihked on edasi-tagasi samas suunas nagu laine ise. Helilained, kus õhuosakesed lükatakse mööda liikumissuunda, on näide pikilainest.

Kuigi selles artiklis käsitletud lained viitavad liikumisele keskkonnas, saab siin tutvustatud matemaatikat kasutada mittemehaaniliste lainete omaduste analüüsimiseks. Näiteks elektromagnetiline kiirgus on võimeline liikuma läbi tühja ruumi, kuid sellel on siiski samad matemaatilised omadused kui teistel lainetel. Näiteks

1. Laineid võib pidada keskkonnas esinevaks häireks tasakaaluolekus, mis üldiselt on puhkeolekus. Selle häire energia on see, mis põhjustab laine liikumist. Veekogu on tasakaalus, kui laineid pole, kuid niipea, kui sinna visatakse kivi, on osakeste tasakaal häiritud ja laine liikumine algab.
2. Laine häiring liigub või propogaadid, kindla kiirusega, nimetatakse laine kiirus (v).
3. Lained transpordivad energiat, kuid pole tähtis. Kandja ise ei reisigi; üksikud osakesed liiguvad tasakaaluasendi ümber edasi-tagasi või üles-alla.

Laine liikumise matemaatiliseks kirjeldamiseks viidame a põhimõttele lainefunktsioon, mis kirjeldab osakese asukohta söötmes igal ajal. Lainefunktsioonide kõige põhilisem on siinuslaine ehk siinuslaine, mis on a perioodiline laine (st korduva liikumisega laine).

Oluline on märkida, et lainefunktsioon ei kujuta füüsilist lainet, vaid on pigem tasakaalunihke nihke graafik. See võib olla segane kontseptsioon, kuid kasulik on see, et kõige perioodilisemate perioodiliste kujutiste jaoks võime kasutada siinuslainet liikumised, nagu ringis liikumine või pendli pööramine, mis ei pruugi tegeliku pildi vaatamisel tingimata lainetaolised olla liikumine.

• laine kiirus (v) - laine levimise kiirus
• amplituud (A) - tasakaalust nihke maksimaalne suurusjärk SI-meetrites. Üldiselt on see kaugus laine tasakaalu keskpunktist maksimaalse nihkeni või see on pool kogu laine nihkest.
• periood (T) - on ühe lainetsükli aeg (kaks impulssi või harjast harjani või madalsügavusest) SI sekundiühikutes (ehkki seda võib nimetada ka sekundiks tsükli kohta).
• sagedus (f) - tsüklite arv ajaühikus. SI sagedusühik on herts (Hz) ja

  1 Hz = 1 tsükkel / s = 1 s^-1

• nurksagedus (ω) - on 2π korda sagedus, radiaani SI ühikutes sekundis.
• lainepikkus (λ) - vahemaa mis tahes kahe punkti vahel vastavates kohtades järjestikuste laine korduste korral, näiteks (näiteks) ühest harust või süvendist teise SI ühikud meetrit.
• lainearv (k) - nimetatakse ka levimiskonstant, on see kasulik kogus määratletud kui 2 π jagatud lainepikkusega, seega on SI ühikud radiaani meetri kohta.
• pulss - pool lainepikkust tasakaalust tagasi

Mõned kasulikud võrrandid ülaltoodud koguste määratlemisel on:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Laine punkti vertikaalne asukoht, y, võib leida horisontaalse asukoha funktsioonina, xja kellaaeg, t, kui me seda vaatame. Täname lahkeid matemaatikuid, kes selle töö meie heaks tegid, ja saame laine liikumise kirjeldamiseks järgmised kasulikud võrrandid:

y(x, t) = A patt ω(t - x/v) = A patt 2π f(t - x/v)

y(x, t) = A patt 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = A patt (ω t - kx)

Lainefunktsiooni viimane omadus on rakendamine kalkulatsioon teise tuletise saamiseks võetakse lainevõrrand, mis on intrigeeriv ja mõnikord kasulik toode (mille eest täname veel kord matemaatikuid ja nõustume seda tõestamata):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

Teine tuletis y austusega x on samaväärne teise tuletisega y austusega t jagatud lainekiirusega ruudus. Selle võrrandi peamine kasulikkus on see alati, kui see ilmneb, teame seda funktsiooni y toimib laine kiirusena v ning seetõttu, olukorda saab kirjeldada lainefunktsiooni abil.