Mis on Cauchy jaotus

Juhusliku muutuja üks jaotus pole oluline mitte selle rakenduste jaoks, vaid selle jaoks, mida see meile meie määratluste kohta ütleb. Cauchy jaotus on üks selline näide, mida mõnikord nimetatakse patoloogiliseks näiteks. Põhjus on selles, et kuigi see jaotus on täpselt määratletud ja sellel on seos füüsilise nähtusega, pole jaotusel keskmist ega dispersiooni. Tõepoolest, sellel juhuslikul muutujal puudub hetke genereeriv funktsioon.

Cauchy jaotuse määratlemiseks võetakse arvesse spinnit, näiteks tüüpi lauamängus. Selle ketruskeha kese kinnitatakse y telg punktis (0, 1). Pärast ketraja ketramist pikendame ketraja sirgjoont, kuni see ületab x-telje. Seda määratletakse kui meie juhuslikku muutujat X.

Tähisega w tähistame väiksemat kahest nurgast, mille vurr teeb y telg. Eeldame, et see vurr moodustab sama suure tõenäosusega mis tahes nurga kui teine ​​ja seega on W ühtlane jaotus vahemikus -π / 2 kuni π / 2.

Põhiline trigonomeetria pakub meile ühenduse kahe juhusliku muutuja vahel:

X = päevitustW.

Kumulatiivne jaotusfunktsioonXtuletatakse järgmiselt:

H(x) = Lk(X < x) = Lk(päevitustW < x) = Lk(W < arctanX)

Seejärel kasutame tõsiasja, etW on ühtlane ja see annab meile:

H(x) = 0.5 + (arctanx)/π

Tõenäosustiheduse funktsiooni saamiseks eristame kumulatiivse tiheduse funktsiooni. Tulemuseks on h(x) = 1/[π (1 + x²) ]

Cauchy jaotuse teeb huvitavaks see, et kuigi oleme selle defineerinud, kasutades a füüsikalist süsteemi juhuslik spinner, Cauchy jaotusega juhuslik muutuja ei oma keskmist, dispersiooni ega momenti funktsiooni. Kõik hetked päritolu kohta, mida nende parameetrite määratlemiseks kasutatakse, pole olemas.

Alustame keskmise kaalumisega. Keskmine on meie juhusliku muutuja eeldatav väärtus ja seega E [X] = ∫_-∞^∞x /[π (1 + x²)] dx.

Integreerime kasutades asendamine. Kui me seame u = 1 +x² siis näeme, et du = 2x dx. Pärast asendamist ei lähe tulemuseks olev vale integraal ühtlustuma. See tähendab, et eeldatavat väärtust ei eksisteeri ja keskmine on määratlemata.

Samamoodi pole defineeritud dispersioon ja momenti genereeriv funktsioon.

Cauchy jaotus on nimetatud prantsuse matemaatiku Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857) järgi. Hoolimata sellest, et seda levikut nimetati Cauchyks, avaldas levitamisega seotud teabe esmakordselt Poisson.