Binoomjaotusega juhuslikud muutujad on teadaolevalt diskreetsed. See tähendab, et binoomjaotuses võib esineda loendamatu arv tulemusi, nende tulemuste vahel lahutades. Näiteks võib binoommuutuja väärtus olla kolm või neli, kuid mitte arv, mis jääb vahemikku kolm kuni neli.
Binoomjaotuse diskreetse iseloomuga on mõnevõrra üllatav, et binoomjaotuse ligikaudseks muutmiseks saab kasutada pidevat juhuslikku muutujat. Paljudele binoomjaotused, saame binoomsete tõenäosuste ligikaudseks määramiseks kasutada normaaljaotust.
Seda saab vaadata vaadates n mündi viskamine ja üürimine X ole peade arv. Selles olukorras on meil binoomjaotus, mille õnnestumise tõenäosus on lk = 0,5. Kui suurendame viskamiste arvu, näeme seda tõenäosust histogramm sarnaneb üha enam normaaljaotusega.
Normaalse lähenemise avaldus
Iga normaaljaotus on kahega täielikult määratletud reaalarvud. Need numbrid on keskmised, mis mõõdavad jaotuse keskpunkti ja standardhälve, mis mõõdab jaotuse levikut. Antud binoomse olukorra jaoks peame suutma kindlaks teha, millist normaaljaotust kasutada.
Õige normaaljaotuse valiku määrab uuringute arv n binoomi seadistuses ja pidev õnnestumise tõenäosus lk kõigi nende katsete jaoks. Meie binoommuutuja normaalne lähend on keskväärtus np ja standardhälve (np(1 - lk)0.5.
Oletame näiteks, et arvasime ära valikvastustega testi iga 100 küsimuse kohta, kus igale küsimusele oli neljast valikust üks õige vastus. Õigete vastuste arv X on binoomiline juhuslik muutuja koos n = 100 ja lk = 0.25. Seega on selle juhusliku muutuja keskmine väärtus 100 (0,25) = 25 ja standardhälve (100 (0,25) (0,75)0.5 = 4.33. Selle binoomjaotuse lähendamiseks töötab normaaljaotus keskmise 25 ja standardhälbega 4,33.
Millal on lähendamine sobiv?
Mõnda matemaatikat kasutades saab näidata, et on mõned tingimused, mille jaoks peame kasutama tavalist lähendit binoomjaotus. Vaatluste arv n peab olema piisavalt suur ja väärtus lk nii et mõlemad np ja n(1 - lk) on 10 või rohkem. See on rusikareegel, mida juhib statistikapraktika. Alati saab kasutada tavalist lähendust, kuid kui need tingimused ei ole täidetud, ei pruugi lähend olla lähenduse jaoks nii hea.
Näiteks kui n = 100 ja lk = 0,25, siis on meil õigustatud kasutada tavalist lähendit. See on sellepärast, et np = 25 ja n(1 - lk) = 75. Kuna mõlemad arvud on suuremad kui 10, teeb binomiaalsete tõenäosuste hindamine küllaldaselt hea normaaljaotuse.
Miks kasutada lähendit?
Binoomi tõenäosused arvutatakse binoomikordaja leidmiseks väga sirgjoonelise valemi abil. Kahjuks tänu faktoriaalid valemis võib olla väga lihtne arvutusraskustesse sattuda binoom valem. Tavaline lähend võimaldab meil kõigist neist probleemidest mööda minna, töötades koos tuttava sõbraga - tavalise normaaljaotuse väärtuste tabel.
Mitu korda on tüütu arvutada tõenäosust, et binoomiline juhuslik muutuja langeb väärtuste vahemikku. Seda seetõttu, et leida tõenäosus, et binomiaalmuutuja X on suurem kui 3 ja väiksem kui 10, peaksime leidma tõenäosuse, et X võrdub 4, 5, 6, 7, 8 ja 9 ja liidab kõik need tõenäosused siis kokku. Kui saab kasutada tavalist lähendust, peame selle asemel määrama punktidele 3 ja 10 vastavad z-skoorid ja kasutama seejärel tõenäosuste z-skoori tabelit tavaline normaaljaotus.