Kuidas arvutada Poissoni jaotuse dispersiooni

Juhusliku muutuja jaotuse dispersioon on oluline omadus. See arv näitab jaotuse levikut ja see leitakse ruudu korrutamisel standardhälve. Üks tavaliselt kasutatav diskreetne levitamine on Poissoni jaotuse oma. Näeme, kuidas arvutada Poissoni jaotuse dispersiooni parameetriga λ.

Poissoni jaotusi kasutatakse siis, kui meil on mingisugune kontinuum ja loendame selles pidevuses diskreetseid muutusi. See juhtub siis, kui arvestame inimeste arvuga, kes tunni jooksul kinopiletite loenduri juurde jõuavad, silma peal hoiavad neljapoolse peatusega ristmikust läbi sõitvate autode arv või loendage vea pikkust traat.

Kui teeme nendes stsenaariumides paar täpsustavat eeldust, vastavad need olukorrad Poissoni protsessi tingimustele. Seejärel ütleme, et juhuslikul muutujal, mis loendab muudatuste arvu, on Poissoni jaotus.

Poissoni jaotus viitab tegelikult lõpmatule jaotuste perekonnale. Need jaotused on varustatud ühe parameetriga λ. See parameeter on positiivne tegelik arv see on tihedalt seotud pidevuses täheldatud muutuste eeldatava arvuga. Lisaks näeme, et see parameeter on võrdne mitte ainult parameetriga

Poissoni jaotuse tõenäosusmassi funktsioon saadakse järgmiselt:

f(x) = (λxe-λ)/x!

Selles väljendis täht e on arv ja on matemaatiline konstant, mille väärtus on ligikaudu võrdne 2,718281828. Muutuja x võib olla ükskõik milline mittenegatiivne täisarv.

Poissoni jaotuse keskmise arvutamiseks kasutame seda jaotust hetke genereeriv funktsioon. Me näeme, et:

M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!

Meenutame nüüd Maclaurini sarja jaoks e^u. Kuna funktsiooni mis tahes tuletis e^u on e^u, annavad kõik need nulliga hinnatud tuletised meile 1. Tulemuseks on seeria e^u = Σ uⁿ/n!.

Kasutades Maclaurini seeriat e^u, saame hetke genereerivat funktsiooni väljendada mitte jadana, vaid suletud kujul. Me ühendame kõik terminid eksponendiga x. Seega M(t) = e^{λ(et - 1)}.

Nüüd leiame variatsiooni, võttes teise tuletise M ja hinnates seda nulli. Alates M’(t) =λe^tM(t), kasutame teise tuletise arvutamiseks tootereeglit:

M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)

Hindame seda nulli ja leiame selle M’’(0) = λ² + λ. Seejärel kasutame tõsiasja, et M'(0) = λ dispersiooni arvutamiseks.

Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.

See näitab, et parameeter λ ei ole mitte ainult Poissoni jaotuse keskmine, vaid on ka selle dispersioon.