Matemaatiline statistika nõuab mõnikord komplektteooria kasutamist. De Morgani seadused on kaks lauset, mis kirjeldavad erinevate teooriaoperatsioonide vastastikmõjusid. Seadused kehtivad kahe komplekti kohta A ja B:
- (A ∩ B)C = AC U BC.
- (A U B)C = AC ∩ BC.
Pärast nende avalduste tähenduse selgitamist vaatame nende kasutamise näidet.
Teooriaoperatsioonide määramine
De Morgani seaduste ütlemise mõistmiseks peame meenutama mõningaid määratletud teooriatoimingute määratlusi. Täpsemalt, me peame teadma liit ja ristmik kahest komplektist ja komplekti komplemendist.
De Morgani seadused on seotud liidu, ristmike ja komplemendi koostoimimisega. Tuletame meelde, et:
- Komplektide ristmik A ja B koosneb kõigist elementidest, mis on ühised mõlemale A ja B. Ristmikku tähistatakse A ∩ B.
- Komplektide liit A ja B koosneb kõigist elementidest, mis kummaski A või B, sealhulgas mõlema komplekti elemendid. Ristmikku tähistatakse tähega A U B.
- Komplekti täiendus A koosneb kõigist elementidest, mis ei ole A. Seda komplemendi tähistab AC.
Nüüd, kui need elementaarsed toimingud meelde tuletasime, näeme De Morgani seaduste avaldust. Iga komplektipaari jaoks A ja B meil on:
- (A ∩ B)C = AC U BC
- (A U B)C = AC ∩ BC
Neid kahte väidet saab illustreerida Venni diagrammide abil. Nagu allpool näha, saame näite abil näidata. Nende väidete tõesuse tõestamiseks peame tegema tõesta neid kasutades teooriaoperatsioonide definitsioone.
Näide De Morgani seadustest
Näiteks kaaluge komplekti reaalarvud vahemikus 0 kuni 5. Kirjutame selle intervallmärgisega [0, 5]. Selles komplektis oleme A = [1, 3] ja B = [2, 4]. Peale põhitegevuste rakendamise on meil:
- Täiendus AC = [0, 1) U (3, 5]
- Täiendus BC = [0, 2) U (4, 5]
- Liit A U B = [1, 4]
- Ristmik A ∩ B = [2, 3]
Alustame liidu arvutamisest AC U BC. Näeme, et [0, 1) U (3, 5] ja [0, 2) U (4, 5] liit on [0, 2) U (3, 5]. Ristmik A ∩ B on [2, 3]. Näeme, et selle komplekti [2, 3] komplement on samuti [0, 2) U (3, 5]. Sel moel oleme seda näidanud AC U BC = (A ∩ B)C.
Nüüd näeme [0, 1) U (3, 5] ja [0, 2) U (4, 5] ristumiskohta [0, 1) U (4, 5]. Samuti näeme, et [1, 4] komplement on samuti [0, 1) U (4, 5]. Sel moel oleme seda näidanud AC ∩ BC = (A U B)C.
De Morgani seaduste nimetamine
Läbi loogika ajaloo on sellised inimesed nagu Aristoteles ja Ockhami William on teinud avaldused, mis on samaväärsed De Morgani seadustega.
De Morgani seadused on nimetatud Augustus De Morgani järgi, kes elas aastatel 1806–1871. Ehkki ta neid seadusi ei avastanud, tutvustas ta neid avaldusi esimesena, kasutades matemaatilist sõnastust propositsiooniloogikas.