Mis on vastupidine, kontrapositiivne ja vastupidine?

Tingimuslikud avaldused esinevad kõikjal. Matemaatikas või mujal ei võta kaua aega, kui jõuame mõtteni, mille kuju on „Kui Lk siis Q. ” Tingimuslikud avaldused on tõepoolest olulised. Oluline on ka avaldused, mis on seotud algse tingimusliku väitega, muutes positsiooni Lk, Q ja avalduse eitamine. Alustades algsest avaldusest, jõuame kolme uue tingimuslause juurde, mida nimetatakse vastupidiseks, kontrapositiivseks ja vastupidine.

Enne kui määratleda tingliku väite vastupidine, kontrapositiivne ja vastupidine, peame uurima eituse teemat. Iga avaldus loogika on kas tõene või vale. Avalduse eitamine hõlmab sõna "mitte" sisestamist väite õigesse ossa. Sõna “ei” lisamine on tehtud nii, et see muudab väite tõestatust.

See aitab vaadata näidet. Avaldus „The täisnurkne kolmnurk on võrdkülgne "on eitus" Parempoolne kolmnurk ei ole võrdkülgne. " Eitus "10 on paarisarv" on lause "10 ei ole paarisarv". Selle jaoks muidugi Viimane näide võiks olla paaritu arvu määratlus ja öelda selle asemel, et “10 on paaritu arv”. Märgime, et avalduse tõde on vastupidine väite tõele eitamine.

Uurime seda ideed abstraktsemas keskkonnas. Kui avaldus Lk on tõsi, väide “ei Lk”On vale. Samamoodi, kui Lk on vale, selle eitamine “mitteLk" on tõsi. Negatsioone tähistatakse tavaliselt tähisega ~. Nii et selle asemel, et kirjutada “mitte Lk”Võime kirjutada ~Lk.

Nüüd saame määratleda tingliku väite vastupidise, kontrapositiivse ja pöördvõrdelise. Alustame tingimuslausega „Kui Lk siis Q.”

• Tingimusliku väite vastand on: „Kui Q siis Lk.”
• Tingimusliku väite kontrapositiiv on: “Kui ei Q siis mitte Lk.”
• Tingimusliku väite pöördepunkt on „Kui ei Lk siis mitte Q.”

Näeme, kuidas need avaldused toimivad koos näitega. Oletame, et alustame tingimuslausega "Kui eile õhtul sadas, siis on kõnnitee märg."

• Tingimusliku väite vastand on järgmine: "Kui kõnnitee on märg, siis vihma sadas eile õhtul."
• Tingimusliku väite kontrapositiiv on: "Kui kõnnitee pole märg, siis eile õhtul seda ei sadanud."
• Tingimusliku väite pöördepunkt on järgmine: "Kui eile õhtul ei sadanud, siis pole kõnnitee märg."

Võib küsida, miks on oluline need muud tingimuslikud väited vormida meie algsest. Ülaltoodud näite hoolikas uurimine paljastab midagi. Oletame, et algne väide "Kui eile õhtul sadas, siis on kõnnitee märg" vastab tõele. Millised teistest väidetest peavad samuti tõesed olema?

• Vastupidine „Kui kõnnitee on märg, siis eile sadas vihma“ pole tingimata tõsi. Kõnnitee võib muudel põhjustel olla märg.
• Pöörd "Kui eile õhtul ei sadanud, siis pole kõnnitee märg" ei pea tingimata paika. Jällegi - see, et vihma ei sadanud, ei tähenda veel, et kõnnitee oleks märg.
• Kontrapositiiv "Kui kõnnitee pole märg, siis eile õhtul seda ei sadanud" on tõene väide.

Sellest näitest (ja mida saab matemaatiliselt tõestada) näeme, et tingimuslikul avaldusel on sama tõeväärtus kui selle kontrapositiivsel. Me ütleme, et need kaks väidet on loogiliselt samaväärsed. Samuti näeme, et tingimuslause ei ole loogiliselt samaväärne selle vastupidise ja vastupidisega.

Kuna tingimuslause ja selle kontrapositiivne on loogiliselt samaväärsed, saame seda matemaatiliste teoreemide tõestamisel oma eeliseks kasutada. Tingimusliku väite tõesuse otse tõestamise asemel võime selle asemel kaudselt tõestada strateegiat selle väite kontrapositiivsuse tõestamiseks. Kontrapositiivsed tõendid toimivad, sest kui kontrapositiivne on tõene, siis loogilise samaväärsuse tõttu on tõene ka algne tingimuslause.

Selgub, et kuigi vastupidine ja pöördvõrdeline ei ole loogiliselt samaväärne algse tingimuslausega, on nad loogiliselt üksteisega võrdsed. Sellele on lihtne seletus. Alustame tingimuslausega „Kui Q siis Lk”. Selle väite kontrapositiiv on: “Kui ei Lk siis mitte Q. ” Kuna pöördvõrdeline on vastupidise kontrapositiiv, on vastupidine ja pöördvõrdeline loogiliselt ekvivalentsed.