Yahtzee mäng hõlmab viie standardse täringu kasutamist. Igal pöördel antakse mängijatele kolm rulli. Pärast igat rulli võib hoida ükskõik kui palju täringuid eesmärgiga saada nendest täringutest teatavad kombinatsioonid. Iga erinev kombinatsioon on väärt erinevat arvu punkte.
Üks seda tüüpi kombinatsioone nimetatakse täismajaks. Nagu pokkerimängus täismaja, sisaldab see kombinatsioon kindlast numbrist kolme koos erineva numbriga paariga. Kuna Yahtzee hõlmab täringute juhuslikku veeremist, saab seda mängu analüüsida tõenäosuse abil, et teha kindlaks, kui tõenäoline on täismaja ühe rulliga veeretamine.
Eeldused
Alustame oma eelduste kinnitamisega. Eeldame, et kasutatud täringud on õiglased ja üksteisest sõltumatud. See tähendab, et meil on ühtlane prooviruum, mis koosneb kõigist viie täringu võimalikest rullidest. Ehkki Yahtzee mäng lubab kolme rulli, arvestame ainult juhul, kui saame täismaja ühe rulliga.
Näidisruum
Kuna me töötame koos ühtlaneproovipind, saab meie tõenäosuse arvutamisest paari loendusprobleemi arvutus. Täismaja tõenäosus on täismaja rullimise viiside arv, mis on jagatud tulemuste arvuga valimi ruumis.
Tulemuste arv valimi ruumis on sirgjooneline. Kuna täringuid on viis ja kõigil neil täringutel võib olla üks kuuest erinevast tulemusest, on tulemuste arv prooviruumis 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776.
Täismajade arv
Järgmisena arvutame täismaja veeretamise viiside arvu. See on keerulisem probleem. Täismaja saamiseks vajame kolme ühte täringut, millele järgneb paar erinevat tüüpi täringut. Jagame selle probleemi kaheks osaks:
- Kui palju on erinevaid täismaju, mida võiks veeretada?
- Kui palju on teatud tüüpi täismaja valtsimist?
Kui oleme teada nende arvu, saame need korrutada, et saada täisarv majade arv, mida saab veeretada.
Alustuseks vaatame, mitu erinevat tüüpi täismaju saab valtsida. Mis tahes numbritest 1, 2, 3, 4, 5 või 6 võiks kasutada kolme sellist. Paari jaoks on alles jäänud viis numbrit. Seega on 6 x 5 = 30 erinevat tüüpi täismaja kombinatsioone, mida saab valtsida.
Näiteks võiks meil ühte tüüpi täismajana olla 5, 5, 5, 2, 2. Teist tüüpi täismaja oleks 4, 4, 4, 1, 1. Veel üks oleks 1, 1, 4, 4, 4, mis erineb eelmisest täismajast, kuna neljakesi ja üksteise rollid on vahetatud.
Nüüd määrame kindlaks konkreetse täismaja valtsimise viiside erineva arvu. Näiteks annab iga järgmine teave meile sama neljarattalise ja kahe täismaja:
- 4, 4, 4, 1, 1
- 4, 1, 4, 1, 4
- 1, 1, 4, 4, 4
- 1, 4, 4, 4, 1
- 4, 1, 4, 4, 1
Me näeme, et konkreetse täismaja veeretamiseks on vähemalt viis võimalust. Kas on ka teisi? Isegi kui loetleme muud võimalused, kuidas me teame, et oleme need kõik leidnud?
Nendele küsimustele vastamise võti on mõista, et meil on tegemist loendusprobleemiga, ja teha kindlaks, millise loendusprobleemiga me töötame. Asendeid on viis ja kolm neist tuleb täita neljaga. Neljakesi paigutamise järjekord ei oma tähtsust, kui täpsed positsioonid on täidetud. Kui neljakesi positsioon on kindlaks tehtud, toimub nende asetamine automaatselt. Nendel põhjustel peame kaaluma kombinatsioon viiest positsioonist, mis võetakse kolm korraga.
Selle saamiseks kasutame kombineeritud valemit C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. See tähendab, et antud täismaja veeretamiseks on 10 erinevat viisi.
Kui see kõik kokku panna, on meil terve hulk täismaju. Ühe rulliga täismaja saamiseks on 10 x 30 = 300 viisi.
Tõenäosus
Nüüd täismaja tõenäosus on lihtne jaotusarvutus. Kuna täismaja ühe rulliga veeretamiseks on 300 viisi ja viis täringut on 7776, siis on täismaja veeremise tõenäosus 300/7776, mis on 1/26 ja 3,85% lähedal. See on 50 korda tõenäolisem kui Yahtzee veeretamine ühe rulliga.
Muidugi on väga tõenäoline, et esimene rull pole täismaja. Kui see on nii, siis lubatakse meile veel kaks rulli, mis muudab täismaja palju tõenäolisemaks. Selle tõenäosust on kõigi võimalike olukordade tõttu palju keerulisem kindlaks teha.