Mis on Calculus? Definitsioon ja praktilised rakendused

Kalkuleerimine on matemaatika haru, mis hõlmab muutuste määrade uurimist. Enne matemaatika leiutamist oli kogu matemaatika staatiline: see aitas arvutada vaid objekte, mis olid täiesti paigal. Kuid universum liigub pidevalt ja muutub. Ükski objekt - alates kosmoses olevatest tähtedest kuni keha subatomiliste osakeste või rakkudeni - ei ole alati puhkeasendis. Tõepoolest, peaaegu kõik universumis liigub pidevalt. Calculus aitas kindlaks teha, kuidas osakesed, tähed ja mateeria reaalajas tegelikult liiguvad ja muutuvad.

Kalkulatsiooni kasutatakse paljudes valdkondades, mille kohta te tavaliselt ei arva, et selle mõisteid kasutaks. Nende hulgas on füüsika, tehnika, majandus, statistika ja meditsiin. Calculust kasutatakse ka sellistes erinevates piirkondades nagu kosmosereisid, samuti määratakse kindlaks, kuidas ravimid interakteeruvad kehaga, ja isegi kuidas luua ohutumaid struktuure. Saate aru, miks on calculus kasulik nii paljudes valdkondades, kui teate natuke nii selle ajaloo kohta kui ka selle kohta, mida see on ette nähtud tegema ja mõõtma.

Peamised võtmed: kalkulatsiooni põhiteoreem

Calculuse töötasid välja 17. sajandi teisel poolel kaks matemaatikut, Gottfried Leibniz ja Isaac Newton. Newton töötas kõigepealt välja arvutusmeetodi ja rakendas seda otse füüsiliste süsteemide mõistmiseks. Sõltumatult töötas Leibniz välja arvutustes kasutatud märked. Lihtsamalt öeldes, kui põhiline matemaatika kasutab selliseid toiminguid nagu pluss, miinus, ajad ja jagamine (+, -, x ja ÷), siis arvutab arvutus toiminguid, mis kasutavad funktsioonid ja integraalid muutuste määra arvutamiseks.

Need tööriistad võimaldasid Newtonil, Leibnizil ja teistel matemaatikutel, kes järgisid arvutada selliseid asju nagu kõvera täpne kalle suvalises punktis. Matemaatika lugu selgitab Newtoni arvutuste põhiteoreemi tähtsust:

"Erinevalt kreeklaste staatilisest geomeetriast võimaldas matemaatik matemaatikutel ja inseneridel mõista liikumine ja dünaamilised muutused muutuvas maailmas meie ümber, nagu näiteks planeetide orbiidid, vedelike liikumine, jne."

Arvutuse abil võisid teadlased, astronoomid, füüsikud, matemaatikud ja keemikud nüüd planeerida planeetide ja tähtede orbiidi, samuti elektronide ja prootonite tee aatomi tasandil.

Lastel on kaks haru: diferentsiaal ja lahutamatu. "Diferentsiaalkivi uurib tuletisinstrumente ja integraalkoguseid... integraali," märgib Massachusettsi tehnoloogiainstituut. Kuid sellel on midagi enamat. Diferentsiaalarv määrab koguse muutumise kiiruse. See uurib nõlvade ja kõverate muutumiskiirusi.

See haru on seotud funktsioonide muutumise määra uurimisega nende muutujate suhtes, eriti tuletiste ja diferentsiaalide kasutamise kaudu. Tuletis on joone kalle graafikul. Joone kalde leiate, arvutades tõus üle jooksu.

Terviklik arvutusseevastu püüab leida koguse, kus muutuse kiirus on teada. See haru keskendub sellistele mõistetele nagu puutuja sirgete ja kiiruste nõlvad. Kui diferentsiaalne kalkuleerimine keskendub kõverale ise, puudutab lahutamatu kalkulatsioon ruumi või pindala all kõver. Tervikliku suuruse või väärtuse, näiteks pikkuste, pindalade ja mahtude arvutamiseks kasutatakse integreeritud arvutust.

Calculus mängis olulist rolli navigatsiooni arendamine 17. ja 18. sajandil, kuna see võimaldas meremeestel kasutada kohaliku aja täpsustamiseks Kuu asukohta. Oma asukoha merel kaardistamiseks pidid navigaatorid suutma mõõta täpsusega nii aega kui ka nurki. Enne kalkulatsiooni väljatöötamist ei saanud laeva navigaatorid ega kaptenid kumbagi teha.

Kalkulatsioon - nii tuletis kui integraal - aitas parandada selle olulise kontseptsiooni mõistmist Maa kõvera, kauguslaevad pidid konkreetsesse kohta jõudmiseks läbima kõverat ja isegi Maa, merede ja laevade joonduse tähed.

Calculusel on reaalses elus palju praktilisi rakendusi. Mõned mõisted, mis kasutavad arvutamist Siia hulka kuuluvad liikumine, elekter, soojus, valgus, harmoonikud, akustika ja astronoomia. Calculust kasutatakse geograafias, arvuti nägemises (näiteks autode autonoomseks juhtimiseks), fotograafias, tehisintellektis, robootikas, videomängudes ja isegi filmides. Calculust kasutatakse ka keemias radioaktiivse lagunemise määra arvutamiseks ning isegi sündide ja surmade ennustamiseks, samuti gravitatsiooni ja planeetide liikumise, vedeliku voo, laevade kujundamise, geomeetriliste kõverate ja sillaehituse uurimisel.

Näiteks füüsikas kasutatakse arvutusmeetodeid liikumise, elektri, soojuse, valguse, harmooniliste, akustika, astronoomia ja dünaamika määratlemiseks, selgitamiseks ja arvutamiseks. Einsteini relatiivsusteooria tugineb matemaatika valdkonnale, mis aitab ka majandusteadlastel ennustada, kui palju kasumit ettevõte või tööstus saab teenida. Ja sisse laevaehitus, on arvutuslikku meetodit laeva kere kõvera (diferentsiaali abil) määramiseks kasutatud aastaid kivi), samuti laevakere alune pindala (kasutades integreeritud kivi) ja isegi laevakere üldkujunduses laevad.

Lisaks kasutatakse arvutusmeetodeid erinevate matemaatiliste erialade, näiteks statistika, analüütilise geomeetria ja algebra vastuste kontrollimiseks.

Majandusteadlased kasutavad pakkumist, nõudlust ja maksimaalset potentsiaalset kasumit prognoosides arvutusmeetodeid. Pakkumine ja nõudlus on lõppude lõpuks kaardil kõver - ja selles pidevalt muutuv kõver.

Majandusteadlased kasutavad kalkulatsiooni kindlaksmääramiseks nõudluse hinnaelastsus. Nad tähistavad pidevalt muutuvat pakkumise ja nõudmise kõverat kui "elastset" ja kõvera tegevust kui "elastsust". Et arvutada konkreetse elastsuse täpne mõõde Kui soovite pakkumise või nõudluse kõveral osutada, peate mõtlema lõpmatuseni väikestele hinnamuutustele ja selle tulemusel lisama oma elastsusesse matemaatilised tuletised valemid. Kalkulatsioon võimaldab teil pidevalt muutuvas pakkumise ja nõudmise kõveras kindlaks määrata konkreetsed punktid.

"Kalkulatsiooni kokkuvõte." Massachusettsi Tehnoloogiainstituut, 10. jaanuar 2000, Cambridge, MA.