Mis on tõenäosuse aksioomid?

Üks matemaatika strateegia on alustada mõne väitega, seejärel üles ehitada nendest lausetest rohkem matemaatikat. Alguslauseid tuntakse aksioomidena. Aksioom on tavaliselt midagi, mis on matemaatiliselt enesestmõistetav. Suhteliselt lühikesest aksioomide loendist kasutatakse deduktiivset loogikat teiste väidete tõestamiseks, mida nimetatakse teoreemideks või väideteks.

Matemaatika valdkond, mida nimetatakse tõenäosuseks, ei erine üksteisest. Tõenäosuse saab vähendada kolme aksioomini. Esmalt tegi seda matemaatik Andrei Kolmogorov. Kõigi järelduste tegemiseks saab kasutada käputäis aksioome, mis on aluseks tõenäosusele sorteerib tulemustest. Kuid mis on need tõenäosuse aksioomid?

Tõenäosuse aksioomide mõistmiseks peame kõigepealt arutama mõnda põhimääratlust. Eeldame, et meil on tulemuste kogum, mida nimetatakse valimiruumiks S. Seda näidisruumi võib pidada uuritava olukorra universaalseks komplektiks. Näidisruum koosneb alamhulkadest, mida nimetatakse sündmusteks E₁, E₂,..., E_n.

Samuti eeldame, et mis tahes sündmusele saab määrata tõenäosuse E. Seda võib mõelda funktsioonina, millel on sisendi komplekt, ja a tegelik arv väljundina. Tõenäosus sündmusE tähistab Lk(E).

Tõenäosuse esimene aksioom on see, et mis tahes sündmuse tõenäosus on mittenegatiivne reaalarv. See tähendab, et väikseim, mille tõenäosus kunagi olla võib, on null ja see ei saa olla lõpmatu. Numbrikomplekt, mida võime kasutada, on reaalarvud. See viitab nii ratsionaalsetele arvudele, mida tuntakse ka murdarvudena, kui ka irratsionaalsetele arvudele, mida ei saa murdudena kirjutada.

Üks asi on märkida, et see aksioom ei ütle midagi selle kohta, kui suur võib olla sündmuse tõenäosus. Aksioom välistab negatiivsete tõenäosuste võimaluse. See peegeldab arusaama, et väikseim tõenäosus, mis on reserveeritud võimatutele sündmustele, on null.

Teine tõenäosuse aksioom on see, et kogu prooviruumi tõenäosus on üks. Sümboolselt kirjutame Lk(S) = 1. Selles aksioomis on kaudne arusaam, et valimiruum on meie tõenäosuskatse jaoks kõik võimalik ja väljaspool prooviruumi pole ühtegi sündmust.

Iseenesest ei sea see aksioom ülempiiri sündmuste tõenäosusele, mis ei ole kogu valimiruum. See peegeldab tõepoolest, et millegi täieliku kindlusega tõenäosus on 100%.

Kolmas tõenäosuse aksioom käsitleb üksteist välistavaid sündmusi. Kui E₁ ja E₂ on üksteist välistavad, mis tähendab, et neil on tühi ristmik ja meie tähistame liit siis U-ga Lk(E₁ U E₂ ) = Lk(E₁) + Lk(E₂).

Aksioom hõlmab olukorda tegelikult mitme (isegi loendamatult lõpmatu) sündmusega, mille iga paar on teineteist välistav. Kuni see juhtub, liidu tõenäosus sündmuste arv on sama kui tõenäosuste summa:

Lk(E₁ U E₂ U... U E_n ) = Lk(E₁) + Lk(E₂) +... + E_n

Ehkki see kolmas aksioom ei pruugi tunduda nii kasulik, näeme, et koos kahe teise aksioomiga on see üsna võimas.

Kolm aksioomi määravad mis tahes sündmuse tõenäosuse ülemise piiri. Tähistame ürituse täiendamist E kõrval E^C. Püstitatud teooriast E ja E^C tühi ristmik ja on üksteist välistavad. Lisaks E U E^C = S, kogu prooviruumi.

Need faktid koos aksioomidega annavad meile:

1 = Lk(S) = Lk(E U E^C) = Lk(E) + Lk(E^C) .

Korrastame ülaltoodud võrrandit ja näeme seda Lk(E) = 1 - Lk(E^C). Kuna me teame, et tõenäosused peavad olema mittenegatiivsed, on meil nüüd iga sündmuse tõenäosuse ülemine piir 1.

Valem uuesti ümber korraldades oleme Lk(E^C) = 1 - Lk(E). Samuti võime sellest valemist järeldada, et sündmuse mittetoimumise tõenäosus on üks miinus tõenäosus, et see toimub.

Ülaltoodud võrrand pakub meile ka viisi võimatu sündmuse tõenäosuse arvutamiseks, mida tähistab tühi hulk. Selle nägemiseks tuletage meelde, et tühi komplekt on antud juhul universaalse komplekti täiendus S^C. Kuna 1 = Lk(S) + Lk(S^C) = 1 + Lk(S^C), algebra järgi Lk(S^C) = 0.

Ülaltoodud on vaid mõned näited omadustest, mida saab tõestada otse aksioomide abil. Tõenäosuses on palju rohkem tulemusi. Kuid kõik need teoreemid on loogilised laiendid tõenäosuse kolmest aksioomist.