Mitmest tõenäosuse teoreemist saab tuletada tõenäosuse aksioomid. Neid teoreeme saab kasutada tõenäosuste arvutamiseks, mida võiksime teada saada. Üks selline tulemus on tuntud kui komplemendireegel. See avaldus võimaldab meil arvutada tõenäosuse sündmusA teades komplemendi tõenäosust AC. Pärast täiendusreegli kehtestamist näeme, kuidas seda tulemust saab tõestada.
Täiendusreegel
Ürituse täiendus A tähistab AC. Täiendus A on seatud - kõigist universaalse komplekti elementidest või proovipind S, mis ei ole komplekti elemendid A.
Komplemendi reeglit väljendatakse järgmise võrrandiga:
P (AC) = 1 - P (A)
Siin näeme, et sündmuse tõenäosus ja selle komplementaarsuse tõenäosus peavad olema 1.
Täiendusreegli tõend
Komplemendi reegli tõestamiseks alustame tõenäosuse aksioomidega. Neid väiteid eeldatakse tõenditeta. Näeme, et neid saab süstemaatiliselt kasutada meie väite tõendamiseks sündmuse täiendamise tõenäosuse kohta.
- Esimene tõenäosuse aksioom on see, et mis tahes sündmuse tõenäosus on mittenegatiivne tegelik arv.
- Teine tõenäosuse aksioom on kogu prooviruumi tõenäosus S on üks. Sümboolselt kirjutame P (S) = 1.
- Kolmas tõenäosuse aksioom väidab, et If A ja B on üksteist välistavad (mis tähendab, et ristmik on tühi), siis täpsustame nende sündmuste liit kui P (A U B ) = P (A) + P (B).
Komplemendi reegli jaoks ei pea me kasutama ülaltoodud loendi esimest aksioomi.
Oma väite tõestuseks peame sündmusi Aja AC. Komplekti teooriast teame, et neil kahel komplektil on ristmik tühi. Selle põhjuseks on asjaolu, et element ei saa samaaegselt olla mõlemas A ja mitte sisse A. Kuna ristmik on tühi, on need kaks komplekti üksteist välistavad.
Kahe sündmuse liit A ja AC on ka olulised. Need on ammendavad sündmused, mis tähendab, et liit neist sündmustest on kogu prooviruum S.
Need faktid koos aksioomidega annavad meile võrrandi
1 = P (S) = P (A U AC) = P (A) + P (AC) .
Esimene võrdsus tuleneb teise tõenäosuse aksioomist. Teine võrdsus on tingitud sündmustest A ja AC on ammendavad. Kolmas võrdsus tuleneb kolmanda tõenäosuse aksioomist.
Ülaltoodud võrrandit saab ümber kujundada selliseks, nagu me eespool ütlesime. Kõik, mida peame tegema, on lahutada tõenäosus A võrrandi mõlemalt küljelt. Seega
1 = P (A) + P (AC)
saab võrrandiks
P (AC) = 1 - P (A).
Muidugi võiksime reeglit väljendada ka järgmiselt:
P (A) = 1 - P (AC).
Kõik need kolm võrrandit on sama asja sama moodi ütlemise viisid. Selle tõestuse põhjal näeme, kuidas kõigest kaks aksioomi ja teatud komplektiteooria aitavad meil tõestada uusi väiteid tõenäosuse kohta.