3 või enama komplekti liidu tõenäosus

Kui kaks sündmust on üksteist välistavad, nende tõenäosus liit saab arvutada nupuga liitmise reegel. Me teame, et stantsi veeremisel on suurema kui nelja või väiksema arvu veeretamine üksteist välistavad sündmused, millel pole midagi ühist. Selle sündmuse tõenäosuse leidmiseks lisame tõenäosusele, et veeretame arvu, mis on väiksem kui kolm, lihtsalt tõenäosuse, et veeretame arvu, mis on suurem kui neli,. Sümbolites on meil järgmine, kus pealinn Lk tähistab “tõenäosust”:

Lk(suurem kui neli või vähem kui kolm) = Lk(suurem kui neli) + Lk(vähem kui kolm) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Kui sündmused on mitte üksteist välistavad, siis ei liida me sündmuste tõenäosusi lihtsalt kokku, vaid peame lahutama tõenäosuse ristmik sündmustest. Arvestades sündmusi A ja B:

Lk(A U B) = Lk(A) + Lk(B) - Lk(A ∩ B).

Siin arvestame võimalusega neid elemente, mis on mõlemas, topeltarvestada A ja B, ja sellepärast lahutame ristumise tõenäosuse.

Sellest tulenev küsimus on järgmine: “Miks lõpetada kahe komplektiga? Milline on tõenäosus, et liit koosneb rohkem kui kahest komplektist? ”

Me laiendame ülaltoodud ideid olukorrale, kus meil on kolm komplekti, mida me tähistame A, Bja C. Me ei eelda midagi enamat kui see, seega on võimalus, et komplektidel on ristmik, mis pole tühi. Eesmärk on arvutada tõenäosus nende kolme komplekti liitumisest või Lk (A U B U C).

Eespool toodud kahe komplekti arutelu kehtib endiselt. Saame kokku liita üksikute komplektide tõenäosused A, Bja C, kuid seda tehes oleme mõned elemendid kahekordselt arvesse võtnud.

Elemendid ristumiskohas A ja B on topelt arvestatud nagu varem, kuid nüüd on ka teisi elemente, mida on potentsiaalselt kaks korda arvestatud. Elemendid ristumiskohas A ja C ja ristmikul B ja C on nüüd ka kaks korda arvestatud. Seega tõenäosused neist ristmikest tuleb ka lahutada.

Kuid kas me oleme liiga palju lahutanud? On midagi uut, mida arvestada, et me ei pidanud muretsema, kui oli ainult kaks komplekti. Nii nagu mõnel kahel komplektil võib olla ristmik, võib ka kõigil kolmel komplektidel olla ristmik. Püüdes veenduda, et me ei arvestanud midagi topelt, ei ole me arvestanud üldse neid elemente, mis kuvatakse kõigis kolmes komplektis. Seega tuleb kõigi kolme komplekti ristumiskoha tõenäosus tagasi lisada.

Siin on valem, mis tuletati ülaltoodud arutelust:

Lk (A U B U C) = Lk(A) + Lk(B) + Lk(C) - Lk(A ∩ B) - Lk(A ∩ C) - Lk(B ∩ C) + Lk(A ∩ B ∩ C)

Kolme komplekti ühinemise tõenäosuse valemi nägemiseks oletame, et mängime lauamängu, mis hõlmab kahe täringu veeretamine. Mängureeglite tõttu peame võitmiseks saama vähemalt ühe stardi, et olla kaks, kolm või neli. Milline on selle tõenäosus? Märgime, et proovime arvutada kolme sündmuse ühinemise tõenäosust: veeretada vähemalt üks kaks, veeretada vähemalt üks kolm, veeretada vähemalt üks neli. Seega saame kasutada ülaltoodud valemit järgmiste tõenäosustega:

• Kahekesi veeremise tõenäosus on 11/36. Lugeja tuleneb sellest, et on kuus tulemust, kus esimene sureb kaks, kuus, milles teine ​​on kaks ja üks tulemus, kus mõlemad täringud on kaks. See annab meile 6 + 6 - 1 = 11.
• Kolmekesi veeremise tõenäosus on 11/36 samal põhjusel nagu ülal.
• Neljakesi veeremise tõenäosus on 11/36, samal põhjusel nagu ülal.
• Kahe ja kolme veeremise tõenäosus on 2/36. Siin võime lihtsalt loetleda võimalused, kas kaks võiksid tulla esimesena või teisena.
• Kahe ja nelja veeremise tõenäosus on 2/36, samal põhjusel, et kahe ja kolme tõenäosus on 2/36.
• Kahe, kolme ja nelja veeremise tõenäosus on 0, kuna me veeretame ainult kahte täringut ja kahe täringuga kolm numbrit pole võimalik saada.

Nüüd kasutame valemit ja näeme, et tõenäosus saada vähemalt kaks, kolm või neli on

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Põhjus, miks nelja komplekti liitmise tõenäosuse valem oma kuju on, sarnaneb kolme komplekti valemi põhjendustega. Kui komplektide arv suureneb, kasvab ka paaride, kolmikute ja nii edasi arv. Nelja komplekti korral on kuus paarisuunalist ristmikku, millest tuleb lahutada, neli kolmekordset ristmikku, et lisada tagasi, ja nüüd neljakordne ristmik, mis tuleb lahutada. Arvestades nelja komplekti A, B, C ja D, on nende komplektide liitmise valem järgmine:

Lk (A U B U C U D) = Lk(A) + Lk(B) + Lk(C) +Lk(D) - Lk(A ∩ B) - Lk(A ∩ C) - Lk(A ∩ D)- Lk(B ∩ C) - Lk(B ∩ D) - Lk(C ∩ D) + Lk(A ∩ B ∩ C) + Lk(A ∩ B ∩ D) + Lk(A ∩ C ∩ D) + Lk(B ∩ C ∩ D) - Lk(A ∩ B ∩ C ∩ D).

Võiksime kirjutada valemeid (mis näeksid isegi hirmutavamaid kui ülalolevad) tõenäosuse jaoks, et rohkem kui neli komplekti liitub, kuid ülaltoodud valemeid uurides peaksime märkama mõnda mustrit. Need mustrid kehtivad enam kui nelja komplektiga liitumiste arvutamiseks. Mis tahes arvu komplektide ühinemise tõenäosus leitakse järgmiselt:

1. Lisage üksikute sündmuste tõenäosused.
2. Lahutage ristmike tõenäosused igast sündmuspaarist.
3. Lisage iga kolme sündmuse komplekti ristumiste tõenäosused.
4. Lahutage iga nelja sündmuse komplekti ristumiste tõenäosused.
5. Jätkake seda protsessi, kuni viimane tõenäosus on nende komplektide koguarvu ristumise tõenäosus, millest me alustasime.