Mis on kurtosis statistikas?

Andmete jaotus ja tõenäosusjaotused pole kõik ühesugused. Mõned neist on asümmeetrilised ja viltu vasakule või paremale. Muud jaotused on bimodaalne ja neil on kaks tippu. Veel üks omadus, mida tuleb jaotusest rääkides arvesse võtta, on jaotuse saba kuju vasakpoolses ja parempoolses osas. Kurtosis on jaotuse sabade paksuse või raskuse mõõt. Jaotuse kurtoos kuulub ühte kolmest klassifikatsioonikategooriast:

• Mesokurtic
• Leptokurtic
• Platykurtic

Kaalume kõiki neid klassifikatsioone kordamööda. Nende kategooriate uurimine ei ole nii täpne, kui võiksime kasutada kurtoosi tehnilist matemaatilist määratlust.

Kurtoosi mõõdetakse tavaliselt normaalne jaotus. Jaotus, mille sabad on kujundatud enam-vähem samal viisil nagu iga normaaljaotus, mitte ainult tavaline normaaljaotus, on väidetavalt mesokurtic. Mesokurtilise jaotuse kurtoos ei ole kõrge ega madal, pigem peetakse seda kahe ülejäänud klassifikatsiooni lähtepunktiks.

Pealegi normaalsed jaotused, binoomjaotused, mille jaoks lk on lähedane 1/2 peetakse mesokurtic.

Leptokurtiline jaotus on selline, mille kurtoos on suurem kui mesokurtiline jaotus. Leptokurtic jaotused on mõnikord tuvastatud õhuke ja pikk piigid. Nende jaotuste sabad paremale ja vasakule on paksud ja rasked. Leptokurtic jaotusi nimetatakse eesliitega "lepto", mis tähendab "kõhn".

Leptokurtiliste jaotuste näiteid on palju. Üks tuntumaid leptokurtilisi jaotusi on Õpilaste t jaotus.

Kurtoosi kolmas klassifikatsioon on platykurtic. Platykurtic jaotused on need, millel on saledad sabad. Mitu korda on nende tipp väikseim kui mesokurtic jaotus. Seda tüüpi jaotuste nimed pärinevad eesliite "platy" tähendusest "lai".

Kõik ühtlane jaotused on platykurtic. Lisaks sellele diskreetne tõenäosusjaotus mündi ühe klaasi pealt on platykurtic.

Need kurtoosi klassifikatsioonid on endiselt mõnevõrra subjektiivsed ja kvalitatiivsed. Kuigi võib-olla näeme, et jaotusel on tavalisest jaotusest paksemad sabad, mis juhtuks, kui meil pole normaalse jaotuse graafikut, millega võrrelda? Mis siis, kui tahame öelda, et üks jaotus on leptokurtilisem kui teine?

Sellistele küsimustele vastamiseks ei pea me mitte ainult kurtoosi kvalitatiivset kirjeldust, vaid kvantitatiivset mõõdet. Kasutatav valem on μ₄/σ⁴ kus μ₄ on Pearsoni neljas hetk keskmise kohta ja sigma on standardhälve.

Nüüd, kui meil on võimalus kurtoosi arvutada, saame võrrelda saadud väärtusi, mitte kujundeid. Normaalses jaotuses leitakse, et kurtoos on kolm. Sellest saab nüüd mesokurtiliste jaotuste alus. Jaotus, mille kurtoos on suurem kui kolm, on leptokurtiline ja jaotus vähem kui kolme kurtoosiga platykurtic.

Kuna me käsitleme mesokurtic jaotust oma muude jaotuste lähtepunktina, võime kurtosisuse standardarvutusest lahutada kolm. Valem μ₄/σ⁴ - 3 on liigse kurtoosi valem. Seejärel võiks jaotuse liigitada selle liigse kurtoosi järgi:

• Mesokurtiliste jaotuste kurtoos on üle nulli.
• Platykurtic jaotustel on negatiivne liigne kurtoos.
• Leptokurtic jaotustel on positiivne liigne kurtoos.

Sõna "kurtosis" tundub esimesel või teisel lugemisel veider. See on tegelikult mõistlik, kuid selle teadvustamiseks peame teadma kreeka keelt. Kurtosis tuleneb kreeka sõna kurtos transliteratsioonist. Sellel kreekakeelsel sõnal on tähendus "kaarjas" või "punnis", muutes selle kurtoosina tuntud mõiste kohaseks kirjelduseks.