Põhinumbri juhusliku valiku tõenäosus

Numbriteooria on harukontor matemaatika see puudutab täisarvu. Me piirame end sellega mõnevõrra, kuna me ei uuri otseselt teisi numbreid, näiteks irratsionaale. Kuid muud tüüpi reaalarvud kasutatakse. Lisaks sellele on tõenäosuse subjektil mitmeid seoseid ja ristumisi numbriteooriaga. Üks neist ühendustest on seotud võrgu levitamisega algarvud. Täpsemalt võime küsida, milline on tõenäosus, et juhuslikult valitud täisarv vahemikus 1 kuni x on algarv?

Nagu kõigi matemaatikaülesannete puhul, on oluline mõista mitte ainult eeldusi, vaid ka kõigi probleemi peamiste mõistete määratlusi. Selle probleemi jaoks kaalume positiivseid täisarvu, mis tähendab täisarve 1, 2, 3... kuni mingi arvuni x. Valime juhuslikult ühe neist arvudest, mis tähendab, et kõik x neist valitakse võrdselt tõenäoliselt.

Püüame kindlaks teha algarvu valimise tõenäosuse. Seega peame mõistma algarvu määratlust. Algarv on positiivne täisarv, millel on täpselt kaks tegurit. See tähendab, et algarvude ainsad jagajad on üks ja number ise. Nii et 2,3 ja 5 on algupärased, kuid 4, 8 ja 12 pole algarvud. Märgime, et kuna algarvul peab olema kaks tegurit, on arv 1

Selle probleemi lahendus on väikeste numbrite korral lihtne x. Peame lihtsalt loendama primaaride arvu, mis on väiksem või sellega võrdne x. Jagame PRIME arvu väiksemaks või võrdseks x numbri järgi x.

Näiteks selleks, et leida tõenäosus, et algarv valitakse vahemikus 1 kuni 10, tuleb meil jagada primaaride arv vahemikus 1 kuni 10 kümnega. Arvud 2, 3, 5, 7 on algarv, seega on algarvu valimise tõenäosus 4/10 = 40%.

Tõenäosuse, et algväärtus on valitud vahemikus 1 kuni 50, võib leida sarnaselt. Primaarid, mis on väiksemad kui 50, on: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ja 47. Seal on 15 PRIMA, mis on 50 või vähem. Seega on tõenäosus, et algväärtus valitakse juhuslikult, 15/50 = 30%.

Seda protsessi saab läbi viia, loendades lihtsalt PRIME-sid, kui meil on PRIME-de loetelu. Näiteks on 25 PRIMA, mis on 100 või vähem. (Seega on tõenäosus, et juhuslikult valitud arv vahemikus 1 kuni 100 on algupärane) 25/100 = 25%.) Kui aga meil pole loendit primaaridest, võib arvutuslikult hirmutada kindlaks määrata algarvude komplekt, mis on antud väärtusest väiksem või sellega võrdne number x.

Kui teil ei ole primaaride arvu, mis oleks väiksem või võrdne x, siis on selle probleemi lahendamiseks alternatiivne viis. Lahendus hõlmab matemaatilist tulemust, mida tuntakse algarvu teoreemina. See on väide PRIME üldise jaotuse kohta ja seda saab kasutada ligikaudse tõenäosuse saavutamiseks, mida me proovime kindlaks teha.

Algarvu teoreem väidab, et neid on umbes x / ln (x) algarvud, mis on väiksemad või võrdsed x. Siin ln (x) tähistab looduslikku logaritmi xvõi teisisõnu logaritm, mille baas on number e. Väärtusena x suurendab lähenduse paranemist selles mõttes, et suhteline viga väheneb PRIMide arvu vahel vähem kui x ja väljend x / ln (x).

Saame kasutada algarvu teoreemi tulemust probleemi lahendamiseks, mida püüame lahendada. Me teame algarvu teoreemi järgi, et neid on umbes x / ln (x) algarvud, mis on väiksemad või võrdsed x. Lisaks on neid kokku x positiivsed täisarvud kuni x. Seetõttu on tõenäosus, et selles vahemikus juhuslikult valitud arv on algarv (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Nüüd saame seda tulemust kasutada ligikaudse tõenäosuse järgi, et juhuslikult valitakse algarv esimesest miljardit täisarvud. Arvutame miljardi naturaalse logaritmi ja näeme, et ln (1 000 000 000) on umbes 20,7 ja 1 / ln (1 000 000 000) on umbes 0,0483. Seega on tõenäosus, et esimese miljardi täisarvu hulgast juhuslikult valitakse juhuslik arv, umbes 4,83%.