Kuidas kasutada matemaatikas "ainult siis ja ainult siis"

Statistikat ja matemaatikat lugedes on üks regulaarselt kuvatav fraas „kui ja ainult siis”. See fraas esineb eriti matemaatiliste teoreemide või tõendite avaldustes. Kuid mida see väide täpsemalt tähendab?

Et mõista, kas ja ainult siis, peame kõigepealt teadma, mida mõeldakse tingimusliku väite all. Tingimuslause on selline, mis moodustatakse kahest teisest avaldusest, mida tähistame tähega P ja Q. Tingimusliku väite moodustamiseks võiksime öelda, et kui P, siis Q.

Järgnevad on näited sellist laadi väitest:

• Kui väljas sajab vihma, siis võtan oma jalutuskäigu endaga vihmavarju.
• Kui õpite kõvasti, siis teenite A-d.
• Kui n jaguneb siis 4-ga n on jagatav kahega.

Veel kolm lauset on seotud mis tahes tingimusliku väitega. Neid nimetatakse vastupidine, vastupidine ja kontrapositiivne. Me moodustame need avaldused, muutes P ja Q järjekorda algsest tinglikust ja lisades sõna “ei” vastupidiseks ja vastuoluliseks.

Peame siin kaaluma ainult vastupidist. See väide saadakse originaalist, öeldes: “kui Q, siis P”. Oletame, et alustame tingimusega „kui väljas sajab vihma, siis mina võta jalutuskäigul kaasa oma vihmavari. ” Selle väite vastand on: “Kui ma võtan oma vihmavarju jalutuskäigul kaasa, siis sajab vihma väljas. ”

Peame ainult seda näidet arvestama, et mõista, et algne tingimuslik pole loogiliselt sama, mis selle vastupidine. Nende kahe väitevormi segadus on tuntud kui a vastupidine viga. Jalutuskäigul võiks olla vihmavari, isegi kui õues ei pruugi vihma sadada.

Teise näitena peame tinglikuks "Kui arv on jagatav 4-ga, siis jagatakse see kahega." See väide vastab selgelt tõele. Selle väite vastupidine lause "Kui arv on jagatav kahega, siis on see jagatav neljaga" on vale. Peame vaatama ainult selliseid numbreid nagu 6. Kuigi 2 jagab selle arvu, 4 ei jaga. Kuigi algne väide on tõene, ei ole see vastupidine.

See viib meid kahe tingimusega avalduseni, mida tuntakse ka kui "ainult siis ja ainult siis". Teatud tingimuslikes lausetes on ka tõesed vestlused. Sel juhul võime moodustada nn kahe tingimuse väite. Kahe tingimusega avaldus on järgmine:

"Kui P, siis Q ja kui Q, siis P."

Sellest alates Ehitus on mõnevõrra kohmakas, eriti kui P ja Q on nende enda loogilised avaldused, lihtsustame biconditioni lauset fraasi abil "kui ja ainult kui." Selle asemel, et öelda "kui P, siis Q, ja kui Q, siis P", ütleme selle asemel "P siis ja ainult siis, kui Q". See konstruktsioon välistab osa koondamine.

Statistikaga seotud fraasi „ainult siis ja ainult siis” näite jaoks otsige ainult fakti valimi standardhälbe kohta. Andmekogumi valimi standardhälve on võrdne null siis ja ainult siis, kui kõik andmeväärtused on identsed.

Me jaotame selle bicconditioni väite tinglikuks ja vastupidiseks. Siis näeme, et see väide tähendab mõlemat järgmist:

• Kui standardhälve on null, siis on kõik andmeväärtused identsed.
• Kui kõik andmeväärtused on identsed, võrdub standardhälve nulliga.

Kui me üritame tõestada, et tegemist on kaksiktingimusega, lõpetame enamasti selle lõhenemise. See muudab meie tõendiks kaks osa. Üks osa, mida me tõestame, on “kui P, siis Q.” Teine vajalik osa tõenditest on “kui Q, siis P”.

Kahesugused tingimused on seotud tingimustega, mis on nii vajalikud kui ka piisavad. Mõelge väitele „kui täna on Lihavõtted, siis on homme esmaspäev. ” Täna on ülestõusmispüha, kui homme on esmaspäev, kuid see pole vajalik. Täna võiks olla ükskõik milline pühapäev peale lihavõttepühade ja homme oleks ikkagi esmaspäev.

Väljendit „ainult siis ja ainult siis“ kasutatakse matemaatiliselt piisavalt sageli, et sellel oleks oma lühend. Mõnikord lühendatakse fraasi "kui ja ainult siis" biccondition tingimuseks lihtsalt "iff". Seega saab lause “P siis ja ainult siis, kui Q” muutub “P iff Q.”