Tšebõševi ebavõrdsus ütleb, et vähemalt 1-1 /K2 Valimi andmed peavad jääma vahemikku K standardhälbed keskmisest (siin K on positiivne tegelik arv suurem kui üks).
Mis tahes andmekogum, mida tavaliselt levitatakse või mille kuju on a kella kõver, on mitmeid funktsioone. Üks neist käsitleb andmete levikut keskmiste standardhälvete arvu suhtes. Normaalse jaotuse korral teame, et 68% andmetest on üks standardhälve keskmisest, 95% on kaks standardhälbed keskmisest ja umbes 99% jääb keskmise standardhälbe piiridesse.
Kuid kui andmekogumit ei jaotata kelluka kõvera kujul, võib ühe standardhälbe piires olla erinev summa. Tšebõševi ebavõrdsus annab võimaluse teada, milline osa andmetest kuulub K standardhälbed keskmisest mis tahes andmekogum.
Faktid ebavõrdsuse kohta
Samuti võime ülaltoodud ebavõrdsuse väita, asendades fraasi „andmed valimist” fraasiga tõenäosusjaotus. Seda seetõttu, et Tšebõševi ebavõrdsus tuleneb tõenäosusest, mida saab seejärel statistikas rakendada.
Oluline on märkida, et see ebavõrdsus on tulemus, mis on matemaatiliselt tõestatud. See pole nagu
empiiriline suhe keskmise ja režiimi vahel või pöidlareegel mis ühendab vahemikku ja standardhälvet.Ebavõrdsuse illustratsioon
Ebavõrdsuse illustreerimiseks vaatleme seda mõne väärtusega K:
- Sest K = 2 meil on 1 - 1 /K2 = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%. Nii ütleb Tšebõševi ebavõrdsus, et vähemalt 75% iga jaotuse andmeväärtustest peab jääma keskmise kahe standardhälbe piiridesse.
- Sest K = 3 meil on 1 - 1 /K2 = 1 - 1/9 = 8/9 = 89%. Nii ütleb Tšebõševi ebavõrdsus, et vähemalt 89% mis tahes jaotuse andmeväärtustest peab jääma keskmise kolme standardhälbe piiridesse.
- Sest K = 4 meil on 1 - 1 /K2 = 1 - 1/16 = 15/16 = 93.75%. Nii ütleb Tšebõševi ebavõrdsus, et vähemalt 93,75% mis tahes jaotuse andmeväärtustest peab jääma keskmise kahe standardhälbe piiridesse.
Näide
Oletame, et oleme proovinud koerte kaalu kohalikus loomade varjupaigas ja leidsime, et meie proovi keskmine on 20 naela, standardhälve on 3 naela. Tšebõševi ebavõrdsuse kasutamisel teame, et vähemalt 75% -l koertest, kellest me valisid, on kaal, mis on kaks standardhälvet keskmisest. Kahekordne standardhälve annab meile 2 x 3 = 6. Lahutage ja lisage see keskmistest 20. See ütleb meile, et 75% -l koertest on kaal 14–26 naela.
Ebavõrdsuse kasutamine
Kui me teame rohkem levitamisest, millega töötame, siis saame tavaliselt garanteerida, et rohkem andmeid on teatud arv standardhälbeid keskmisest erinev. Näiteks kui me teame, et meil on normaaljaotus, siis on 95% andmetest kaks standardhälvet keskmisest. Tšebõševi ebavõrdsus ütleb, et selles olukorras me teame seda vähemalt 75% andmetest on kaks standardhälvet keskmisest. Nagu sel juhul näeme, võib see olla palju rohkem kui see 75%.
Ebavõrdsuse väärtus on see, et see annab meile “halvema juhtumi” stsenaariumi, kus ainsad asjad, mida me oma valimisandmete (või tõenäosusjaotuse) kohta teame, on keskmine ja standardhälve. Kui me oma andmetest midagi muud ei tea, pakub Tšebõševi ebavõrdsus mõningast täiendavat ülevaadet selle kohta, kui suur on andmekogum.
Ebavõrdsuse ajalugu
Ebavõrdsus on nimetatud vene matemaatiku Pafnuty Tšebõševi järgi, kes kuulutas ebavõrdsuse esmakordselt tõenditeta 1874. aastal. Kümme aastat hiljem tõestas ebavõrdsust Markov doktorikraadiga. väitekiri. Vene tähestiku ingliskeelse esindamise erinevuste tõttu on Tšebõšev ka Tchebysheff.