Chi-ruudu jaotuse maksimum- ja käänupunktid

Matemaatiline statistika kasutab matemaatika eri harude tehnikaid, et lõplikult tõestada, et statistikaga seotud väited on tõesed. Näeme, kuidas arvutusmeetodi abil saab eespool nimetatud mõlema maksimumväärtuse väärtuste määramiseks kasutada chi-ruutjaotust, mis vastab selle režiimile, samuti leida levitamine.

Enne selle tegemist arutame maksimumide ja käänupunktide funktsioone üldiselt. Vaatleme ka meetodit, mille abil arvutatakse maksimaalne pöördepunkt.

Diskreetse andmete kogumi korral on režiim kõige sagedamini esinev väärtus. Andmete histogrammil tähistab seda kõrgeim riba. Kui oleme teada kõrgeima riba, vaatame andmete väärtust, mis vastab selle riba alusele. See on meie andmekogumi režiim.

Sama ideed kasutatakse pideva levitamisega töötamisel. Seekord režiimi leidmiseks otsime jaotuse kõrgeimat tippu. Selle jaotuse graafiku korral on piigi kõrgus y väärtus. Seda y väärtust nimetatakse meie graafiku maksimumiks, kuna see väärtus on suurem kui ükski teine ​​y väärtus. Režiim on horisontaaltelje väärtus, mis vastab sellele maksimaalsele y-väärtusele.

Ehkki režiimi leidmiseks võime lihtsalt vaadata jaotuse graafikut, on selle meetodiga probleeme. Meie täpsus on vaid sama hea kui meie graafikul ja tõenäoliselt peame seda hindama. Samuti võib meie funktsiooni graafikul olla raskusi.

Alternatiivne meetod, mis ei vaja graafikut, on arvutusmeetodi kasutamine. Me kasutame järgmist meetodit:

1. Alustage tõenäosustiheduse funktsioonist f (x) meie levitamiseks.
2. Arvutage esimene ja teine derivaadid selle funktsiooni f '(x) ja f ''(x)
3. Seadke see esimene tuletis nulliga f '(x) = 0.
4. Lahendage x.
5. Ühendage eelmise sammu väärtus (ed) teise derivaadiga ja hinnake. Kui tulemus on negatiivne, on meil kohalik maksimum väärtusel x.
6. Hinnake meie funktsiooni f (x) kõigis punktides x eelmisest etapist.
7. Hinnake tõenäosustiheduse funktsiooni selle toe kõigis lõpp-punktides. Seega, kui funktsioonil on domeen antud suletud intervalliga [a, b], siis hinnake funktsiooni lõpp-punktides a ja b.
8. Sammude 6 ja 7 suurim väärtus on funktsiooni absoluutne maksimum. X väärtus, kus see maksimum ilmneb, on jaotuse režiim.

Nüüd läbime ülaltoodud sammud chi-ruudu jaotuse režiimi arvutamiseks r vabadusastmeid. Alustame tõenäosustiheduse funktsioonist f(x), mis kuvatakse selle artikli pildil.

f (x) = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Siin K on konstant, mis hõlmab gammafunktsioon ja võimsus 2. Me ei pea teadma spetsiifikat (sellegipoolest võime nendele viidata pildi valemile).

Selle funktsiooni esimene tuletis antakse, kasutades: toote reegel samuti ahelareegel:

f '( x ) = K (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Võrdleme selle tuletise nulliga ja arvestame avalduse paremal küljel:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)x^-1- 1/2]

Kuna pidev K, eksponentsiaalne funktsioon ja x^{r / 2-1} on kõik nullist erinevad, saame võrrandi mõlemad pooled jagada nende avaldiste abil. Seejärel on meil:

0 = (r / 2 - 1)x^-1- 1/2

Korrutage võrrandi mõlemad pooled 2-ga:

0 = (r - 2)x^-1- 1

Seega 1 = (r - 2)x^-1ja järeldame sellega, et meil on x = r - 2. See on punkt mööda horisontaaltelge, kus režiim toimub. See tähistab x meie chi-ruutjaotuse tipu väärtus.

Veel üks kõvera omadus käsitleb seda, kuidas see kõverdub. Kõvera osad võivad olla nõgusad ülespoole, nagu suurtäht U. Kõverad võivad olla ka nõgusad allapoole ja kujuga ristmik sümbol ∩. Kui kõver muutub nõgusalt allapoole nõgusaks ülespoole või vastupidi, on meil käänupunkt.

Funktsiooni teine ​​tuletis tuvastab funktsiooni graafiku nõgususe. Kui teine ​​tuletis on positiivne, siis on kõver nõgus. Kui teine ​​tuletis on negatiivne, siis on kõver nõgus allapoole. Kui teine ​​tuletis on võrdne nulliga ja funktsiooni graafik muudab nõgusust, on meil käänupunkt.

Graafiku käändepunktide leidmiseks:

1. Arvutage meie funktsiooni teine ​​tuletis f ''(x).
2. Seadke see teine ​​tuletis nulliga.
3. Lahendage eelmise sammu võrrand x.

Nüüd näeme, kuidas ülaltoodud samme läbi viia chi-ruudu jaotuse jaoks. Alustame eristamisega. Ülaltoodud töö põhjal nägime, et meie funktsiooni esimene tuletis on:

f '(x) = K (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Me eristame uuesti, kasutades tootereeglit kaks korda. Meil on:

f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) x^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Me võrdsustame selle nulliga ja jagame mõlemad pooled omavahel Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) x^{r / 2-2}

Kombineerides sarnaseid termineid, on meil:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}

Korrutage mõlemad pooled 4-gax^{3 - r / 2}, see annab meile:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

Lahenduseks saab nüüd kasutada ruutkeskmist valemit x.

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Laiendame termineid, mis võetakse 1/2 võimsuseks, ja näeme järgmist:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

See tähendab, et:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Sellest näeme, et käändepunkte on kaks. Veelgi enam, need punktid on jaotusviisi suhtes sümmeetrilised, kuna (r - 2) on kahe pöördepunkti vahel poolel.

Näeme, kuidas mõlemad need tunnused on seotud vabadusastmete arvuga. Saame seda teavet kasutada chi-ruudu jaotuse visandite koostamisel. Saame seda jaotust võrrelda ka teistega, näiteks normaaljaotusega. Näeme, et chi-ruudu jaotuse käändepunktid esinevad erinevates kohtades kui normaaljaotuse pöördepunktid.