mediaan Andmekogum on keskpunkt, kus täpselt pooled andmeväärtustest on mediaanist väiksemad või sellega võrdsed. Sarnasel viisil võime mõelda ka a mediaani pidevtõenäosusjaotus, selle asemel, et leida andmekogumist keskmine väärtus, leiame jaotuse keskpunkti ka teisel viisil.
Tõenäosustiheduse funktsiooni alla kuuluv kogupindala on 1, mis moodustab 100%, ja sellest tulenevalt võib sellest poole moodustada pool või 50 protsenti. Matemaatilise statistika üks peamisi ideid on see, et tõenäosust esindab pindala kõvera all tihedusfunktsioon, mis arvutatakse integraali abil ja seega pideva jaotuse mediaan on punkt tegelik arv joon, kus täpselt pool pindalast jääb vasakule.
Seda saab lühidalt väita järgmine vale integraal. Pideva juhusliku muutuja mediaan X tihedusfunktsiooniga f( x) on väärtus M nii, et:
0.5=∫m−∞f(x)dx
Eksponentsiaalse jaotuse mediaan
Nüüd arvutame eksponentsiaalse jaotuse Exp (A) mediaani. Selle jaotusega juhuslik muutuja omab tihedusfunktsiooni
f(x) = e-x/ A/ A jaoks x mis tahes mittenegatiivne reaalarv. Funktsioon sisaldab ka matemaatiline konstant e, ligikaudu võrdne 2,71828.Kuna tõenäosustiheduse funktsioon on kõigi negatiivsete väärtuste korral null x, peame vaid integreerima järgmise ja lahendama M jaoks:
0,5 = ∫0M f (x) dx
Kuna integraal ∫ e-x/ A/ A dx = -e-x/ A, tulemus on selline
0,5 = -e-M / A + 1
See tähendab, et 0,5 = e-M / A ja pärast võrrandi mõlema poole loodusliku logaritmi võtmist on meil:
ln (1/2) = -M / A
Kuna 1/2 = 2-1, logaritmide omaduste järgi kirjutame:
- ln2 = -M / A
Mõlema poole korrutamine A-ga annab tulemuse, et mediaan M = A ln2.
Statistika keskmine ebavõrdsus mediaanides
Selle tulemuse ühte tagajärge tuleks mainida: eksponentsiaalse jaotuse Exp (A) keskmine on A ja kuna ln2 on väiksem kui 1, järeldub, et korrutis Aln2 on väiksem kui A. See tähendab, et eksponentsiaalse jaotuse mediaan on keskmisest väiksem.
See on mõttekas, kui mõtleme tõenäosustiheduse funktsiooni graafikule. Pika saba tõttu on see jaotus paremale kaldu. Mitu korda, kui jaotus on paremale kaldu, on keskmine mediaanist paremal.
See tähendab statistilise analüüsi mõttes seda, et me võime sageli ennustada, et keskmine ja mediaan ei lange otseselt korreleeruvad, arvestades tõenäosust, et andmed on viltu paremale, mida saab väljendada ebavõrdsuse mediaankeskmise tõendina tuntud kui Tšebõševi ebavõrdsus.
Näitena kaaluge andmekogumit, mille kohaselt saab inimene 10 tunni jooksul kokku 30 külastajat, kui külastaja keskmine ooteaeg on 20 minutit, samal ajal kui andmete kogum võib näidata, et keskmine ooteaeg oleks vahemikus 20–30 minutit, kui üle poole külastajatest tuleks esimese viie hulka tundi.