Mis on kahe komplekti erinevus komplektiteoorias?

Kahe komplekti erinevus, kirjutatud A - B on kõigi elementide kogum A mis ei ole B. Erinevusoperatsioon koos liitumise ja ristumisega on oluline ja põhikomplekti teooria operatsioon.

Ühe numbri teisest lahutamisest võib mõelda mitmel erineval viisil. Ühte selle kontseptsiooni mõistmise mudelit kutsutakse välja võtmise mudeliks lahutamine. Selles demonstreeritakse probleemi 5 - 2 = 3, alustades viiest objektist, eemaldades neist kaks ja lugedes, et neid on alles kolm. Sarnasel viisil, nagu ka kahe numbri erinevus, leiame kahe komplekti erinevuse.

Vaatleme seatud erinevuse näidet. Et näha, kuidas kahe erinevus on komplekti moodustab uue komplekti, kaalume komplekte A = {1, 2, 3, 4, 5} ja B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Erinevuse leidmiseks A - B neist kahest komplektist alustame kõigi elementide kirjutamisega Aja eemaldage siis kõik elemendid A see on ka üks element B. Alates A jagab elemendid 3, 4 ja 5 B, annab see meile määratud erinevuse A - B = {1, 2}.

Nii nagu erinevused 4 - 7 ja 7 - 4 annavad meile erinevad vastused, peame olema ettevaatlikud valitud erinevuse arvutamise järjekorra osas. Matemaatikast pärit tehnilise termini kasutamiseks ütleksime, et erinevuse määratud toiming ei ole kommutatiivne. See tähendab, et üldiselt ei saa me kahe komplekti erinevuse järjekorda muuta ja oodata sama tulemust. Me võime seda täpsustada kõigi komplektide puhul A ja B, A - B ei ole võrdne B - A.

Selle nägemiseks vaadake tagasi ülaltoodud näidet. Arvutasime selle komplektide jaoks A = {1, 2, 3, 4, 5} ja B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, erinevus A - B = {1, 2 }. Sellega võrrelda B - A, alustame elementidega B, mis on 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja eemaldage siis 3, 4 ja 5, kuna need on ühised A. Tulemuseks on B - A = {6, 7, 8 }. See näide näitab meile seda selgelt A - B ei ole võrdne B - A.

Üks erisus on piisavalt oluline, et õigustada omaenda nime ja sümboli kasutamist. Seda nimetatakse komplemendiks ja seda kasutatakse määratud erinevuse korral, kui esimene komplekt on universaalne komplekt. Täiendus A on antud väljendiga U - A. See viitab universaalse komplekti kõigi elementide komplektile, mis ei ole A. Kuna on arusaadav, et elementide komplekt mida saame valida, võetakse universaalsest komplektist, võime lihtsalt öelda, et komplementaar A on kogum, mis koosneb elementidest, mis ei ole elemendi A.

Komplekti täiendus on seotud universaalse komplektiga, millega me töötame. Koos A = {1, 2, 3} ja U = {1, 2, 3, 4, 5}, komplemendi komplement A on {4, 5}. Ütle, kui meie universaalne komplekt on erinev U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, siis komplementaar A {-3, -2, -1, 0}. Pöörake alati tähelepanu sellele, millist universaalset komplekti kasutatakse.

Sõna "täiendus" algab tähega C ja seda kasutatakse märkuses. Komplekti täiendus A on kirjutatud kui A^C. Seega võime komplemendi määratlust sümbolites väljendada järgmiselt: A^C = U - A.

Teine viis, mida tavaliselt kasutatakse komplekti komplemendi tähistamiseks, hõlmab apostrofi ja on kirjutatud kujul A'.

On palju komplekteeritud identiteete, mis hõlmavad erinevuse kasutamist ja täiendamist. Mõned identiteedid ühendavad muid määratud toiminguid, näiteks ristmik ja liit. Mõned olulisemad on toodud allpool. Kõigi komplektide jaoks Aja B ja D meil on:

• A - A =∅
• A - ∅ = A
• ∅ - A = ∅
• A - U = ∅
• (A^C)^C = A
• DeMorgani seadus I: (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
• DeMorgani seadus II: (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C