Oodatud väärtuse valem

Üks loomulik küsimus, mida tõenäosusjaotuse kohta küsida, on: "Mis on selle keskpunkt?" Eeldatav väärtus on üks selline tõenäosusjaotuse keskpunkti mõõtmine. Kuna see mõõdab keskmist, ei tohiks olla üllatav, et see valem on tuletatud keskväärtusest.

Lähtepunkti määramiseks peame vastama küsimusele: "Mis on eeldatav väärtus?" Oletame, et tõenäosuskatsega on seotud juhuslik muutuja. Ütleme nii, et kordame seda katset ikka ja jälle. Pika aja jooksul sama tõenäosuskatse mitu kordust, kui keskmistame kõik oma väärtused juhuslik muutuja, saaksime oodatud väärtuse.

Järgnevas näeme, kuidas valemit eeldatava väärtuse jaoks kasutada. Vaatleme nii diskreetseid kui pidevaid seadeid ning näeme valemite sarnasusi ja erinevusi.

Alustame diskreetse juhtumi analüüsimisega. Antud diskreetne juhuslik muutuja X, oletame, et sellel on väärtused x₁, x₂, x₃,... x_nja vastavad tõenäosused lk₁, lk₂, lk₃,... lk_n. See tähendab, et selle juhusliku muutuja tõenäosusmassi funktsioon annab f(x_i) = lk_i.

Eeldatav väärtus X saadakse järgmise valemi abil:

E (X) = x₁lk₁ + x₂lk₂ + x₃lk₃ +... + x_nlk_n.

Tõenäosusmassi funktsiooni ja liitmismärke kasutamine võimaldab meil selle valemi kompaktsemalt kirjutada järgmiselt, kus summeerimine võetakse üle indeksi i:

E (X) = Σ x_if(x_i).

Selle valemi versiooni on kasulik näha, kuna see töötab ka siis, kui meil on lõpmatu näidisruum. Seda valemit saab hõlpsasti kohandada ka pideva juhtumi jaoks.

Pöörake münt kolm korda ja laske X ole peade arv. Juhuslik muutuja X on diskreetne ja piiritletud. Ainsad võimalikud väärtused, mis meil võivad olla, on 0, 1, 2 ja 3. Selle tõenäosusjaotus on 1/8 X = 0, 3/8 jaoks X = 1, 3/8 jaoks X = 2, 1/8 jaoks X = 3. Kasutage eeldatava väärtuse valemit, et saada:

(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5

Selles näites näeme, et pikas perspektiivis saame sellest katsest kokku 1,5 pead. See on meie intuitsiooni jaoks mõistlik, kuna pool 3-st on 1,5.

Nüüd pöördume pideva juhusliku muutuja juurde, mida tähistame X. Me laseme tõenäosustiheduse funktsioonil X tuleb anda funktsiooni abil f(x).

Eeldatav väärtus X saadakse järgmise valemi abil:

E (X) = ∫ x f(x) dx.

Siin näeme, et meie juhusliku muutuja eeldatav väärtus on väljendatud integraalina.

Seal on palju taotlused eeldatava väärtuse jaoks juhusliku muutuja. See valem teeb huvitava välimuse Peterburi paradoks.