Vektormatemaatika: põhiline, kuid põhjalik sissejuhatus

See on põhiline, kuigi loodetavasti üsna põhjalik sissejuhatus vektoritega töötamisse. Vektorid avalduvad väga erinevatel viisidel alates nihkest, kiirusest ja kiirendusest kuni jõudude ja väljadeni välja. See artikkel on pühendatud vektorite matemaatikale; nende rakendamist konkreetsetes olukordades käsitletakse mujal.

A vektori kogusvõi vektor, pakub teavet mitte ainult suuruse, vaid ka koguse suuna kohta. Majale juhiste andmisel ei piisa sellest, kui öelda, et see asub 10 miili kaugusel, vaid ka selle teabe kasulikkuse tagamiseks tuleb esitada nende 10 miili suund. Muutujad, mis on vektorid, tähistatakse rasvases kirjas, kuigi muutuja kohal on tavaline näha vektoreid, mida tähistatakse väikeste nooltega.

Nii nagu me ei ütle, et teine ​​maja asub -10 miili kaugusel, on vektori suurus alati positiivne arv või pigem vektori "pikkuse" absoluutväärtus (kuigi kogus ei pruugi olla pikkus, see võib olla kiirus, kiirendus, jõud jne.) Negatiivne vektori ees ei tähenda muutust suuruses, vaid pigem vektor.

Ülaltoodud näidetes on vahemaa skalaarhulk (10 miili), kuid nihkumine on vektori kogus (10 miili kirdesse). Samamoodi on kiirus skalaarne suurus, kui kiirus on a vektor kogus.

A ühikvektor on vektor, mille suurusjärk on üks. Ühikvektorit esindav vektor on tavaliselt ka paksus kirjas, ehkki sellel on karaat (^) selle kohal, et näidata muutuja ühikut laadi. Ühikvektor x, kui see on kirjutatud karaadiga, loetakse seda tavaliselt kui "x-mütsi", kuna karaat näeb muutuja moodi välja nagu müts.

nullvektorvõi nullvektor, on vektor, mille suurusjärk on null. See on kirjutatud nii 0 selles artiklis.

Vektorid on üldiselt orienteeritud koordinaatsüsteemile, millest populaarseim on kahemõõtmeline Cartesiuse tasand. Descartes'i tasapinnal on horisontaaltelg tähisega x ja vertikaaltelg y-ga. Mõned vektorite täiustatud rakendused füüsikas nõuavad kolmemõõtmelise ruumi kasutamist, mille teljed on x, y ja z. See artikkel käsitleb peamiselt kahemõõtmelist süsteemi, ehkki mõisteid saab pisut hoolimata laiendada kolmemõõtmelisteks.

Mitmemõõtmeliste koordinaatsüsteemide vektoreid saab jagada nendeks komponentvektorid. Kahemõõtmelise juhtumi korral saadakse sellest a x-komponent ja a y-komponent. Vektori jaotamisel selle komponentideks on vektor komponentide summa:

F = F_x + F_y

teetaF_xF_yF

F_x / F = cos teeta ja F_y / F = patt teetamis annab meile
F_x = F kuna teeta ja F_y = F patt teeta

Pange tähele, et siin esitatud arvud on vektorite suurusjärgud. Me teame komponentide suunda, kuid üritame leida nende suurust, seetõttu eemaldame suunainfo ja teostame skaalaarvutuse suurusjärgu arvutamiseks need skaalaarsed arvutused. Trigonomeetria edasist rakendamist saab kasutada muude suhete (näiteks puutuja) leidmiseks, mis on seotud mõnede nende suuruste vahel, kuid minu arvates on see praegu piisav.

Aastaid on ainus matemaatika, mida õpilane õpib, skalaarmatemaatika. Kui reisite 5 miili põhja ja 5 miili ida poole, olete sõitnud 10 miili. Skaalaarsete koguste lisamine eirab kogu teavet suundade kohta.

Vektoritega manipuleeritakse mõnevõrra erinevalt. Nendega manipuleerimisel tuleb alati suunda arvestada.

Kahe vektori lisamisel on justkui võetud vektorid ja paigutatud need otsast lõpuni ning loodud uus vektor, mis kulgeb alguspunktist lõpp-punktini. Kui vektoritel on sama suund, tähendab see lihtsalt magnituudide lisamist, kuid kui neil on erinevad suunad, võib see muutuda keerukamaks.

Lisate vektorid, purustades need oma komponentideks ja lisades seejärel komponendid järgmiselt:

a + b = c
a_x + a_y + b_x + b_y =
( a_x + b_x) + ( a_y + b_y) = c_x + c_y

Kahe x-komponendi tulemuseks on uue muutuja x-komponent, samas kui kahe y-komponendi tulemuseks on uue muutuja y-komponent.

Vektorite lisamise järjekord ei oma tähtsust. Tegelikult kehtivad vektorite liitmise jaoks mitmed skalaarsest liitmisest tulenevad omadused:

Vektorlisandi identiteedi omadus
a + 0 = a
Vektori lisamise pöördomand
a + -a = a - a = 0
Vektori lisamise peegeldav omadus
a = a
Kommutatiivne vara vektori lisamisest
a + b = b + a
Vektori lisamise assotsiatiivne omadus
(a + b) + c = a + (b + c)
Vektori lisamise üleminekuomadus
Kui a = b ja c = b, siis a = c

Lihtsaim vektoril teostatav toiming on korrutada skalaariga. See skalaarne korrutamine muudab vektori suurust. Teisisõnu, see muudab vektori pikemaks või lühemaks.

Negatiivse skalaari korrutamisel osutab saadud vektor vastupidises suunas.

skalaarne toode kahe vektori arv on viis, kuidas neid korrutada, et saada skalaarne kogus. See kirjutatakse kahe vektori korrutamisena, punkti keskel tähistades korrutamist. Sellisena nimetatakse seda sageli punkttoode kahest vektorist.

Kahe vektori punkti korrutise arvutamiseks võetakse arvesse nendevahelist nurka. Teisisõnu, kui neil oleks sama lähtepunkt, siis milline oleks nurga mõõtmine (teeta) nende vahel. Punkttoode on määratletud järgmiselt:

a * b = ab kuna teeta

ababba

Juhtudel, kui vektorid on risti (või teeta = 90 kraadi), cos teeta on null. Seetõttu risti olevate vektorite punktkorrutis on alati null. Kui vektorid on paralleelselt (või teeta = 0 kraadi), cos teeta on 1, seega skalaarkorrutis on lihtsalt suurusjärkude korrutis.

Neid väikseid fakte saab kasutada selleks, et tõestada, et kui tunnete komponente, saate teeta vajaduse täielikult (kahemõõtmelise) võrrandiga kõrvaldada:

a * b = a_x b_x + a_y b_y

vektorprodukt on kirjutatud kujul a x b, ja seda nimetatakse tavaliselt risttoode kahest vektorist. Sel juhul me korrutame vektoreid ja skalaarikoguse saamise asemel saame vektorikoguse. See on kõige keerulisem vektorarvutustest, millega tegeleme, nii nagu see on mitte kommutatiivne ja hõlmab kardetud kasutamist parempoolne reegel, mille juurde saan varsti.

Jällegi käsitleme kahte samast punktist, nurga all tõmmatud vektorit teeta nende vahel. Me võtame alati väikseima nurga, nii teeta jääb alati vahemikku 0 kuni 180 ja tulemus ei ole seetõttu kunagi negatiivne. Saadud vektori suurus määratakse järgmiselt:

Kui c = a x b, siis c = ab patt teeta

Paralleelsete (või antiparalleelsete) vektorite vektorprodukt on alati null

Vektorprodukt on nende kahe vektoriga loodud tasapinnaga risti. Kui kujutate lennukit tasapinnaliselt laua peal, muutub küsimus, kas tekkiv vektor läheb üles (meie "laua alt" meie vaatevinklist) või allapoole (või "laua sisse" lauale, meie küljest) perspektiiv).

Selle välja mõtlemiseks peate rakendama nn parempoolne reegel. Kui õppisin koolis füüsikat, siis vihatud parempoolne reegel. Iga kord, kui ma seda kasutasin, pidin raamatu välja tõmbama, et otsida, kuidas see toimis. Loodetavasti on minu kirjeldus natuke intuitiivsem kui see, millega mulle tutvustati.

Kui teil on a x b paned oma parema käe piki b nii, et sõrmed (välja arvatud pöial) saaksid kõverduda, et suunata piki a. Teisisõnu, proovite omamoodi nurka teha teeta parema käe peopesa ja nelja sõrme vahel. Sel juhul kleepub pöidla otse üles (või ekraanilt välja, kui proovite seda teha kuni arvutini). Teie sõrmed on umbes kahe vektori lähtepunktiga rivistatud. Täpsus pole hädavajalik, kuid ma tahan, et te saaksite sellest idee, kuna mul pole sellest pilti, mida te saaksite pakkuda.

Kui te siiski kaalute b x a, teete vastupidist. Paned oma parema käe kaasa a ja suunake sõrmed mööda b. Kui proovite seda arvutiekraanil teha, on see võimatu, nii et kasutage oma kujutlusvõimet. Leiate, et sel juhul osutab teie kujutlusvõimeline pöial arvutiekraanile. See on saadud vektori suund.

Parempoolne reegel näitab järgmist suhet:

a x b = - b x a

kabiin

c_x = a_y b_z - a_z b_y
c_y = a_z b_x - a_x b_z
c_z = a_x b_y - a_y b_x

abc_xc_yc

Kõrgematel tasemetel võivad vektorid töötada eriti keerukatena. Kõigis kolledžikursustes, näiteks lineaarse algebras, pühendatakse palju aega maatriksitele (mida ma selles sissejuhatuses lahkelt vältisin), vektoritele ja vektorruumid. See detailsuse tase jääb selle artikli reguleerimisalast välja, kuid see peaks pakkuma alused, mis on vajalikud enamiku füüsika klassiruumis toimuvate vektormanipulatsioonide jaoks. Kui kavatsete füüsikat sügavamalt uurida, tutvustatakse teile hariduse omandamise ajal keerukamaid vektorimõisteid.