Kolme täringu veeretamise tõenäosused

Täringud pakuvad suurepäraseid illustratsioone mõisted tõenäosuses. Kõige sagedamini kasutatavad täringud on kuue küljega kuubikud. Siin näeme, kuidas arvutada tõenäosusi kolme standardse täringu veeretamiseks. Saadava summa tõenäosuse arvutamine on suhteliselt tavaline probleem kahe täringu veeretamine. Kahe täringuga on kokku 36 erinevat rulli, mille iga summa on vahemikus 2 kuni 12.Kuidas probleem muutub, kui lisame rohkem täringuid?

Nii nagu ühel suremisel on kuus tulemust ja kahel täringul 6² = 36 tulemust, kolme täringu veeretamise tõenäosuskatses on 6³ = 216 tulemust. See idee üldistab veelgi täringuid. Kui veeretame n täringut siis on 6ⁿ tulemusi.

Võime arvestada ka mitme täringu veeretamise võimalike summadega. Väikseim võimalik summa toimub siis, kui kõik täringud on väikseimad või üks neist mõlemad. Kolme täringu veeremisel saadakse kolm summat. Surmavormi suurim arv on kuus, mis tähendab, et suurim võimalik summa toimub siis, kui kõik kolm täringut on kuues. Selle olukorra summa on 18.

Millal n täringuid veeretatakse, see on võimalikult väike summa n ja suurim võimalik summa on 6n.

• Kolmel täringul on kokku kolm võimalust ühel viisil
• 3 viisi 4 jaoks
• 6 jaoks 5
• 10 jaoks 6
• 15 7 jaoks
• 21 jaoks 8
• 25 jaoks 9
• 27 jaoks 10
• 27 jaoks 11
• 25 jaoks 12
• 21 jaoks 13
• 15 jaoks 14
• 10 jaoks 15
• 6 jaoks 16
• 3 jaoks 17
• 1 18 jaoks

Nagu eespool arutatud, sisaldavad kolme täringu korral võimalikud summad iga arvu kolmest kuni 18-ni. Tõenäosusi saab arvutada kasutades: loendamise strateegiad ja tunnistades, et otsime võimalusi, kuidas jagada osa täpselt kolmeks täisarvuks. Näiteks on ainus viis kolme summa saamiseks 3 = 1 + 1 + 1. Kuna iga stants on teistest sõltumatu, saab sellise summa nagu neli saada kolmel erineval viisil:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Täiendavaid loendusargumente saab kasutada muude summade moodustamise viiside leidmiseks. Iga summa vaheseinad on järgmised:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Kui partitsiooni moodustavad kolm erinevat arvu, näiteks 7 = 1 + 2 + 4, on neid 3! (3x2x1) erinevad viisid permuteerimine need numbrid. Seega arvestataks seda kolme tulemusega prooviruumis. Kui partitsiooni moodustavad kaks erinevat numbrit, siis on nende numbrite muutmiseks kolm erinevat viisi.

Jagame iga summa saamise viiside koguarvu programmi tulemuste koguarvuga proovipind, või 216. Tulemused on järgmised:

• Summa 3: 1/216 = 0,5% tõenäosus
• Summa 4 tõenäosus: 3/216 = 1,4%
• Summa 5: 6/216 = 2,8% tõenäosus
• Summa 6 tõenäosus: 10/216 = 4,6%
• Summa 7 tõenäosus: 15/216 = 7,0%
• Summa 8 tõenäosus: 21/216 = 9,7%
• Summa 9 tõenäosus: 25/216 = 11,6%
• Summa 10 tõenäosus: 27/216 = 12,5%
• Summa 11 tõenäosus: 27/216 = 12,5%
• Summa 12 tõenäosus: 25/216 = 11,6%
• Summa 13 tõenäosus: 21/216 = 9,7%
• Summa 14 tõenäosus: 15/216 = 7,0%
• Summa 15 tõenäosus: 10/216 = 4,6%
• 16: 6/216 = 2,8% summa tõenäosus
• Summa 17 tõenäosus: 3/216 = 1,4%
• Summa 18 tõenäosus: 1/216 = 0,5%

Nagu näha, on äärmuslikud väärtused 3 ja 18 kõige vähem tõenäolised. Summad, mis asuvad täpselt keskel, on kõige tõenäolisemad. See vastab sellele, mida täheldati kahe täringu veeremisel.