Yahtzee on täringumäng, mis kasutab viit standardset kuuepoolset täringut. Igal pöördel antakse mängijatele kolm rulli, et saada mitu erinevat eesmärki. Pärast iga veeremist võib mängija otsustada, millised täringud (kui neid on) säilitatakse ja millised uuesti. Eesmärgid hõlmavad mitmesuguseid erinevaid kombinatsioone, millest paljud on võetud pokkerist. Iga erinev kombinatsioon on väärt erinevat arvu punkte.
Kaks tüüpi kombinatsioone, mida mängijad peavad keerutama, nimetatakse sirged: väike sirge ja suur sirge. Nagu pokkeri sirged, koosnevad need kombinatsioonid järjestikustest täringutest. Väikestes sirgetes kasutatakse viiest täringust neli ja suurtel sirgetel kasutatakse kõiki viit täringut. Täringute veeremise juhuslikkuse tõttu saab tõenäosuse abil analüüsida, kui tõenäoline on ühe sirgega suure sirge veeretamine.
Eeldused
Eeldame, et kasutatud täringud on õiglased ja üksteisest sõltumatud. Seega on ühtlane prooviruum, mis koosneb kõigist viiest täringust koosnevast võimalikust rullimisest. Ehkki Yahtzee lubab kolme rulli, arvestame lihtsuse huvides ainult juhul, kui saame ühe rulliga suure sirge.
Näidisruum
Kuna me töötame koos ühtlaneproovipind, saab meie tõenäosuse arvutamisest paari loendusprobleemi arvutus. Sirge tõenäosus on sirge veeremise viiside arv, jagatud tulemuste arvuga valimi ruumis.
Tulemuste arvu valimisruumis on väga lihtne arvestada. Me veeretame viis täringut ja igal neist täringutest võib olla üks kuuest erinevast tulemusest. Korrutamispõhimõtte põhirakendus ütleb meile, et valimi ruumis on 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776 tulemust. See arv on nimetaja kõigi nende murdude jaoks, mida me oma tõenäosuste jaoks kasutame.
Sirgete arv
Järgmisena peame teadma, kui palju on võimalusi suure sirge veeretamiseks. See on keerulisem kui proovipinna suuruse arvutamine. Põhjus, miks see on raskem, on see, et me arvestame peenemalt.
Suurt sirget on keerulisem veeretada kui väikest sirget, kuid suure sirge veeremise viiside arvu on lihtsam lugeda kui väikese sirge veeremise viise. Seda tüüpi sirged koosnevad viiest järjenumbrist. Kuna täringul on ainult kuus erinevat arvu, on ainult kaks võimalikku sirget: {1, 2, 3, 4, 5} ja {2, 3, 4, 5, 6}.
Nüüd määrame kindlaks mitu täringute komplekti veeretamise viisi, mis annavad meile sirge. Täringuga suure sirge korral {1, 2, 3, 4, 5} võib täringud olla suvalises järjekorras. Järgmised on erinevad viisid, kuidas sama sirgeks veeretada:
- 1, 2, 3, 4, 5
- 5, 4, 3, 2, 1
- 1, 3, 5, 2, 4
Oleks tüütu loetleda kõik võimalused 1, 2, 3, 4 ja 5 saamiseks. Kuna me peame teadma ainult seda, kui palju selleks on võimalusi, saame kasutada mõnda põhilist loendustehnikat. Märgime, et kõik, mida me teeme, on permuteerimine viis täringut. Neid on 5! = 120 viisi, kuidas seda teha. Kuna suure sirge moodustamiseks on kaks täringukombinatsiooni ja neist kummagi veeretamiseks on 120 viisi, on suure sirge veeretamiseks 2 x 120 = 240 viisi.
Tõenäosus
Nüüd on suure sirge veeremise tõenäosus lihtne jaotusarvutus. Kuna suure sirge sirvimiseks ühe rulliga on 240 moodust ja viit rulli on 7776 Kui täringut on võimalik, on suure sirge veeremise tõenäosus 240/7776, mis on lähedane 1/32 ja 3.1%.
Muidugi on tõenäolisem kui mitte, et esimene rull pole sirge. Kui see on nii, siis lubatakse meile veel kaks rulli, mis teeb sirge palju tõenäolisemaks. Selle tõenäosust on kõigi võimalike olukordade tõttu palju keerulisem kindlaks teha.