Tõenäosused ja valetaja täring

Paljusid õnnemänge saab analüüsida tõenäosuse matemaatika abil. Selles artiklis uurime mängu Liar’s Dice erinevaid aspekte. Pärast selle mängu kirjeldamist arvutame välja sellega seotud tõenäosused.

Liar’s Dice'i mäng on tegelikult perekond, kus mängitakse bluffimist ja pettusi. Sellel mängul on mitmeid variante ja see käib mitme erineva nime all, nagu näiteks Piraadi täring, petmine ja dudo. Selle mängu versiooni näidati filmis Kariibi mere piraadid: Surnud inimese rinnus.

Mängu versioonis, mida me uurime, on igal mängijal karikas ja komplekt sama arvu täringuid. Täringud on standardsed, kuuepoolsed täringud, mis on nummerdatud ühest kuueni. Kõik veeretavad oma täringuid, hoides neid tassiga kaetud. Õigel ajal vaatab mängija oma täringukomplekti, hoides neid kõigi teiste eest varjatud. Mäng on kujundatud nii, et igal mängijal on suurepärased teadmised oma täringukomplektist, kuid tal pole teadmisi teiste veeretatud täringute kohta.

Pärast seda, kui kõigil on olnud võimalus vaadata oma täringut, mis veeretati, algab pakkumine. Igal pöördel on mängijal kaks võimalust: teha kõrgem pakkumine või nimetada eelmine pakkumine valeks. Pakkumisi saab teha kõrgema täringuväärtuse ühelt kuuele pakkumisega pakkumise või sama täringuväärtuse suurema arvu pakkumisega.

Näiteks saab pakkumist „kolm kaks” suurendada, märkides „neli kaks”. Seda saaks ka suurendada öeldes: “Kolm kolmekesi”. Üldiselt ei saa täringute arv ega täringute väärtused väheneda.

Kuna enamik täringuid on vaate eest varjatud, on oluline teada, kuidas mõnda tõenäosust arvutada. Seda teades on lihtsam mõista, millised pakkumised on tõenäoliselt tõesed ja millised on tõenäoliselt valed.

Esimene mõte on küsida: "Mitu sama täringut me ootaksime?" Näiteks kui veeretame viis täringut, siis kui paljud neist eeldaksime kahekesi jõudmist? Sellele küsimusele vastamisel kasutatakse ideed oodatud väärtus.

Juhusliku muutuja eeldatav väärtus on konkreetse väärtuse tõenäosus, mis korrutatakse selle väärtusega.

Tõenäosus, et esimene stants on kaks, on 1/6. Kuna täringud on üksteisest sõltumatud, on tõenäosus, et mõni neist on kaks, 1/6. See tähendab, et eeldatav valtsitud paaride arv on 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Muidugi pole kahe tulemuse osas midagi erilist. Ka täringute arvu osas, mida me kaalusime, pole midagi erilist. Kui me veereksime n täringut, siis on kuuest võimalikust tulemusest oodata arv n/6. Seda arvu on hea teada, kuna see annab meile lähtetaseme, mida kasutada teiste tehtud pakkumiste küsitlemisel.

Näiteks kui mängime valetaja täringut kuue täringuga, on väärtuste 1 kuni 6 eeldatav väärtus 6/6 = 1. See tähendab, et peaksime olema skeptilised, kui keegi pakub mis tahes väärtusest rohkem kui ühte. Pikemas perspektiivis annaksime ühe võimaliku väärtuse keskmiseks.

Oletame, et veeretame viis täringut ja tahame leida kahe kolmekesi veeremise tõenäosuse. Kolme suremise tõenäosus on 1/6. Tõenäosus, et stantsi ei ole kolm, on 5/6. Nende täringute arv on sõltumatud sündmused ja seega korrutame tõenäosused kokku, kasutades korrutamisreegel.

Tõenäosus, et kaks esimest täringut on kolm ja teised, mitte kolm, on saadud järgmise tootega:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Kaks esimest täringut, mis on kolm, on vaid üks võimalus. Täringud, mis on kolm, võivad olla ükskõik millised kaks viiest täringust, mida me veeretame. Me tähistame stantsi, mis ei ole kolm korda *. Viiest rullist kahe kolmandiku saamiseks on järgmised viisid:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Näeme, et viiest täringust kaks kolm täpselt veeretamiseks on kümme võimalust.

Nüüd korrutame oma tõenäosuse ülaltoodud kümne viisiga, kuidas seda täringukonfiguratsiooni saame. Tulemuseks on 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. See on umbes 16%.

Nüüd üldistame ülaltoodud näite. Arvestame veeremise tõenäosust n täringut ja saadakse täpselt k millel on teatud väärtus.

Nii nagu varem, on ka soovitud numbri veeremise tõenäosus 1/6. Selle arvu mittearvestamise tõenäosus on antud täiendusreegel kui 5/6. Me tahame k meie täringust valitud number. See tähendab seda n - k on arv, mida me ei taha. Esimese tõenäosus k täringud, mis on teise täringuga teatud arv, pole see arv:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Kõigi konkreetse täringukonfiguratsiooni veeretamise võimalike võimaluste loetlemine oleks tüütu, rääkimata aeganõudvast. Sellepärast on parem kasutada meie loendamispõhimõtteid. Nende strateegiate kaudu näeme, et arvestame kombinatsioonid.

Seal on C (n, k) valtsimisviisid k teatud tüüpi täringud välja n täringud. See arv on antud valemiga n!/(k!(n - k)!)

Kui kõik kokku panna, näeme seda veeredes n täringut, tõenäosus, et täpselt k neist on konkreetne arv on antud valemiga:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Seda tüüpi probleemide kaalumiseks on veel üks viis. See hõlmab binoomjaotus edu tõenäosusega, mille annab lk = 1/6. Valem täpselt k neist täringutest, mis on teatud arv, nimetatakse binoomi tõenäosuse massifunktsioonina levitamine.

Teine olukord, mida peaksime arvestama, on tõenäosus veeretada vähemalt teatud arv konkreetset väärtust. Näiteks kui me täringuid veeretame, siis kui tõenäoline on vähemalt kolme veeretamine? Me võiksime veeretada kolm, neli või viis. Leitava tõenäosuse määramiseks liidame kokku kolm tõenäosust.

Allpool on tabel tõenäosuste kohta, mille abil täpselt saada k on teatud väärtus, kui veeretame viit täringut.

Järgmisena kaalume järgmist tabelit. See annab vähemalt viie väärtuse väärtuse veeremise tõenäosuse, kui rullume kokku viis täringut. Me näeme, et kuigi on tõenäoline, et veeretate vähemalt ühe 2, pole see nii tõenäoline, et veeretate vähemalt neli 2.