Mis on tühi komplekt komplektiteoorias?

Millal ei saa miski olla midagi? See tundub tobe küsimus ja üsna paradoksaalne. Komplekti teooria matemaatilises valdkonnas on rutiinne, et miski pole midagi muud kui mitte midagi. Kuidas see saab olla?

Kui moodustame elementideta komplekti, pole meil enam midagi. Meil on komplekt, milles pole midagi. Komplektil on spetsiaalne nimi, mis ei sisalda elemente. Seda nimetatakse tühjaks või nulliks.

Tühja komplekti määratlus on üsna peen ja nõuab pisut mõtlemist. Oluline on meeles pidada, et mõtleme a seatud elementide kogumina. Komplekt ise erineb selles sisalduvatest elementidest.

Näiteks vaatleme punkti {5}, mis on komplekt, mis sisaldab elementi 5. Komplekt {5} pole arv. See on komplekt, mille elemendiks on number 5, samas kui 5 on arv.

Samamoodi pole tühi komplekt midagi. Selle asemel on see elementideta komplekt. See aitab mõelda komplektidest kui konteineritest ja elemendid on need asjad, mille me neisse paneme. Tühi konteiner on endiselt konteiner ja analoogne tühja paketiga.

Tühi komplekt on ainulaadne, mistõttu on täiesti asjakohane sellest rääkida tühi komplekt, mitte an tühi komplekt. See eristab tühja komplekti teistest komplektidest. Neis on lõpmata palju komplekte, milles on üks element. Komplektidel {a}, {1}, {b} ja {123} on kummalgi üks element ja seega on nad üksteisega võrdsed. Kuna elemendid ise on üksteisest erinevad, pole komplektid võrdsed.

Ülaltoodud näidetes, millel kõigil on üks element, pole midagi erilist. Kui välja arvata ükski loendusarv või lõpmatus, on selle suurusega komplekte lõpmata palju. Erandiks on number null. Seal on ainult üks komplekt, tühi komplekt, milles pole ühtegi elementi.

Selle fakti matemaatiline tõestamine pole keeruline. Esiteks eeldame, et tühi komplekt pole ainulaadne, et nendes on kaks komplekti, milles pole ühtegi elementi, ja siis kasutame komplekti teooria mõnda omadust, et näidata, et see eeldus viitab vastuolule.

Tühja komplekti tähistatakse sümboliga ∅, mis pärineb taanikeelse tähestiku sarnasest sümbolist. Mõni raamat viitab tühjale komplektile selle alternatiivse nimega nullkomplekt.

Kuna tühja komplekti on ainult üks, tasub vaadata, mis juhtub, kui seatud toimingud toimuvad ristmikku, liitumist ja komplemendi kasutatakse tühja komplekti ja üldkomplektiga, mida tähistame kõrval X. Huvitav on kaaluda ka tühja komplekti alamhulka ja seda, millal tühi komplekt on alamhulk. Need faktid on kokku pandud allpool:

• ristmik suvalisest tühja komplektiga komplektist on tühi komplekt. Selle põhjuseks on asjaolu, et tühjas komplektis pole ühtegi elementi ja seega pole kahel komplektil ühiseid elemente. Sümbolites kirjutame X ∩ ∅ = ∅.
• liit suvalise tühja komplektiga komplekt on see komplekt, millega alustasime. Selle põhjuseks on asjaolu, et tühjas komplektis pole elemente ja seetõttu ei lisa me liidu moodustamisel teisele komplektile elemente. Sümbolites kirjutame X U ∅ = X.
• täiendama tühja komplekti on universaalne komplekt seadistusele, milles töötame. Selle põhjuseks on asjaolu, et kõigi elementide komplekt, mis pole tühjas komplektis, on lihtsalt kõigi elementide komplekt.
• Tühi komplekt on mis tahes komplekti alamhulk. Seda seetõttu, et moodustame komplekti alamhulgad X valides (või mitte valides) elemente X. Üks võimalus alamhulga jaoks on mitte kasutada elemente üldse X. See annab meile tühja komplekti.