Kuidas tuletada kombinatsioonide valemit

Pärast õpikus trükitud või õpetaja tahvlile kirjutatud valemite nägemist on see mõnikord üllatav et teada saada, et paljud neist valemitest on tuletatavad mõningatest põhimõistetest ja hoolikast läbimõtlemisest. See kehtib eriti tõenäosuse korral kombinatsioonide valemi uurimisel. Selle valemi tuletamine tugineb tõepoolest korrutamispõhimõttele.

Korrutamispõhimõte

Oletame, et ülesanne on täita ja see ülesanne jaguneb kokku kaheks etapiks. Esimese sammu saab teha k võimalusi ja teise sammu saab sisse teha n viise. See tähendab, et pärast korrutades kui need numbrid koos on, on ülesande täitmise viise mitu nk.

Näiteks kui teil on kümme sorti jäätist, mille hulgast valida, ja kolm erinevat lisandit, kui palju saate ühe kühvel ühe, ühe pealmise päikesekreemi teha? Korrutage kolm 10-ga, et saada 30 sundaed.

Permutatsioonide moodustamine

Nüüd tuletage korrutamispõhimõte, et saada valemi kombinatsioonide arvu kohta r elemendid, mis on võetud komplektist n elemente. Lase P (n, r) tähistama permutatsioonid

instagram viewer
of r elemendid komplektist n ja C (n, r) tähistama kombinatsioonide arvu r elemendid komplektist n elemente.

Mõelge, mis juhtub permutatsiooni moodustamisel r elemente kokku n. Vaadake seda kaheastmelise protsessina. Esiteks valige komplekt r elemendid komplektist n. See on kombinatsioon ja on C(n, r) kuidas seda teha. Protsessi teine ​​samm on tellimine r elemendid r valikud esimeseks, r - 1 valik teist, r - 2 kolmandaks, 2 valikut eelviimaseks ja 1 viimaseks. Korrutamispõhimõtte järgi on r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! kuidas seda teha. See valem on kirjutatud faktuaalne märge.

Vormeli tuletamine

Kokkuvõtteks: Lk(n,r ), permutatsiooni moodustamise viiside arv r elemente kokku n määratakse järgmiselt:

  1. Moodustatakse kombinatsioon r elemente kokku n ühes neist C(n,r ) viisid
  2. Nende tellimine r mis tahes elementi r! viise.

Korrutamispõhimõtte järgi on permutatsiooni moodustamiseks palju võimalusi Lk(n,r ) = C(n,r ) x r!.

Permutatsioonide valemi kasutamine Lk(n,r ) = n!/(n - r), mida saab asendada ülaltoodud valemiga:

n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.

Nüüd lahenda see kombinatsioonide arv, C(n,r ) ja vaata seda C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].

Nagu näidatud, võib natuke mõtteainet ja algebrat palju edasi minna. Muid tõenäosuse ja statistika valemeid saab ka määratluste hoolika kasutamise korral.