Faktoriaal (!) Matemaatikas ja statistikas

Matemaatikas sümbolid, millel on teatud tähendused inglise keeles võib tähendada väga spetsialiseeritud ja erinevaid asju. Mõelge näiteks järgmisele avaldisele:

3!

Ei, me ei kasutanud hüüumärk näidata, et oleme kolmest elevil ja me ei peaks viimast lauset rõhuasetusega lugema. Matemaatikas väljend 3! loetakse "kolme faktoriaalina" ja on tõesti lühendatud viis mitme järjestikuse täisarvu korrutamiseks.

Kuna matemaatikas ja statistikas on palju kohti, kus peame arvud korrutama, on faktoriaal üsna kasulik. Mõned peamised kohad, kus see ilmub, on kombinatoorika ja tõenäosus kalkulatsioon.

Faktoriaal on määratletud positiivse täisarvu korral n, faktoriaal:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1

Esmalt vaatame mõnda näidet faktoriaalist, mille väikesed väärtused on n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
instagram viewer
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Nagu näeme, saab faktoriaal väga kiiresti väga suureks. Midagi, mis võib tunduda väike, näiteks 20! tegelikult on 19 numbrit.

Tegurite andmeid on lihtne arvutada, kuid nende arvutamine võib olla pisut tüütu. Õnneks on paljudel kalkulaatoritel faktorvõti (otsige! sümbol). See kalkulaatori funktsioon automatiseerib korrutamise.

Faktoriaalse väärtuse veel üks väärtus, mille suhtes ülaltoodud standardmääratlus ei kehti, on väärtus null faktoriaal. Kui järgime valemit, siis ei saaks me väärtuseks 0!. Ei ole ühtegi positiivset täisarvu, mis oleks alla 0. Mitmel põhjusel on asjakohane määratleda 0! = 1. Selle väärtuse faktoriaal kuvatakse eriti valemi jaoks kombinatsioonid ja permutatsioonid.

Arvutuste tegemisel on oluline mõelda enne, kui vajutame kalkulaatoril faktuuriklahvi. Sellise avalduse arvutamiseks nagu 100! / 98! selleks on paar erinevat viisi.

Üks võimalus on kasutada a kalkulaator leida mõlemad 100! ja 98!, jagage seejärel üksteisega. Ehkki see on otsene arvutusviis, on sellega siiski probleeme. Mõni kalkulaator ei saa hakkama avaldistega nii suur kui 100! = 9,33262154 x 10¹⁵⁷. (Väljend 10¹⁵⁷ on teaduslik märge, mis tähendab, et korrutame 1-ga, millele järgneb 157 nulli.) See arv pole mitte ainult massiline, vaid see on ka ainult hinnang tegelikule väärtusele 100!

Teine viis väljendite lihtsustamiseks selliste faktoriaalidega nagu siin nähtu ei vaja üldse kalkulaatorit. Sellele probleemile lähenemise viis on teadvustada, et saame 100 ümber kirjutada! mitte kui 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, selle asemel 100 x 99 x 98! Väljend 100! / 98! saab nüüd (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.