Binoomjaotused on oluline diskreetklass tõenäosusjaotused. Seda tüüpi jaotused on jada n sõltumatud Bernoulli katsed, millest kõigil on püsiv tõenäosus lk edu. Nagu iga tõenäosusjaotuse puhul, tahaksime teada ka selle keskmist või keskpunkti. Selle jaoks küsime tõesti: „Mis on oodatud väärtus binoomjaotusest? ”
Intuitsioon vs. Tõestus
Kui mõtleme hoolikalt a binoomjaotus, pole seda raske oodata seda tüüpi tõenäosusjaotuse väärtus on np. Mõne kiire näite saamiseks kaaluge järgmist:
- Kui me viskame 100 münti ja X on peade arv, eeldatav väärtus X on 50 = (1/2) 100.
- Kui võtame 20 küsimusega valikvastustega testi ja igal küsimusel on neli valikut (ainult üks küsimustest) mis on õige), tähendaks juhuslik äraarvamine, et ootame vaid (1/4) 20 = 5 küsimust õige.
Mõlemas näites näeme seda E [X] = n lk. Kahest juhtumist ei piisa järelduse tegemiseks. Ehkki intuitsioon on hea tööriist meid juhendama, ei piisa matemaatilise argumendi moodustamiseks ja tõestuseks, et midagi on tõsi. Kuidas me saame lõplikult tõestada, et selle jaotuse eeldatav väärtus on tõepoolest np?
Alates eeldatava väärtuse ja tõenäosuse massifunktsiooni määratlusest: binoomjaotus kohta n edu tõenäosuse uuringud lk, saame näidata, et meie intuitsioon sobib kokku matemaatilise ranguse viljadega. Peame olema oma töös pisut ettevaatlikud ja kombinatsioonide valemi poolt antud binoomkoefitsiendi manipuleerimisel agarad.
Alustame valemiga:
E [X] = Σ x = 0n x C (n, x) px(1-p)n - x.
Kuna summeerimise iga kord korrutatakse x, termini väärtus, mis vastab x = 0 on 0 ja seega võime tegelikult kirjutada:
E [X] = Σ x = 1n x C (n, x) p x (1 - p) n - x .
Manipuleerides faktoritega, mis on seotud C (n, x) saame ümber kirjutada
x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).
See on tõsi, kuna:
x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).
Sellest järeldub, et:
E [X] = Σ x = 1n n C (n - 1, x - 1) lk x (1 - p) n - x .
Me arvestame välja n ja üks lk ülaltoodud väljendist:
E [X] = np Σ x = 1n C (n - 1, x - 1) lk x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .
Muutujate muutus r = x - 1 annab meile:
E [X] = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) p r (1 - p) (n - 1) - r .
Binoomvalemi järgi (x + y)k = Σ r = 0 kC (k, r) xr yk - r ülaltoodud summeerimist saab ümber kirjutada:
E [X] = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np.
Ülaltoodud argument on võtnud meile pika tee. Algusest peale binoomjaotuse eeldatava väärtuse ja tõenäosuse massifunktsiooni määratlemisega oleme tõestanud, et see, mida meie intuitsioon meile ütles. Eeldatav väärtus binoomjaotusB (n, p) on n lk.