Yahtzee veeremise tõenäosus

Yahtzee on täringumäng, mis hõlmab juhuse ja strateegia kombinatsiooni. Mängija alustab oma pööret viis täringut veeretades. Pärast seda rulli võib mängija otsustada ükskõik millise arvu täringuid uuesti veeretada. Igal pöördel on kokku kolm rulli. Pärast neid kolme rullimist kantakse täringu tulemus tulemuste lehele. See tulemustabel sisaldab erinevaid kategooriaid, näiteks a täismaja või suur sirge. Kõiki kategooriaid rahuldavad erinevad täringukombinatsioonid.

Kõige keerulisem kategooria täitmine on Yahtzee kategooria. Yahtzee tekib siis, kui mängija veeretab viis sama numbrit. Kui ebatõenäoline on Yahtzee? See on probleem, mis on palju keerulisem kui tõenäosuste leidmine kaks või isegi kolm täringut. Peamine põhjus on see, et kolme sobitamise täringu saamiseks kolme rulli jooksul on mitu viisi.

Yahtzee veeremise tõenäosuse saame arvutada kombinatsioonide kombinatoorse valemi abil ja jagades probleemi mitmeks üksteist välistavad juhtumeid.

Lihtsaim juhtum, mida tuleb kaaluda, on Yahtzee hankimine kohe esimesele rullile. Esmalt vaatleme:

Kahekesi veeremise tõenäosus on 1/6 ja iga stantsi tulemus on ülejäänud osadest sõltumatu. Seega on viie kaksiku veeremise tõenäosus (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Mis tahes muu numbri viie veeremise tõenäosus on samuti 1/7776. Kuna stantsil on kokku kuus erinevat arvu, korrutame ülalnimetatud tõenäosuse 6-ga.

See tähendab, et Yahtzee tõenäosus esimesel rullil on 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 protsenti.

Kui me veeretame midagi muud kui viis esimest tüüpi rulli, peame Yahtzee saamiseks proovima mõne oma täringu ümber kerida. Oletame, et meie esimesel rullil on neli sorti. veeretaksime ühe mittevastava stantsi ümber ja saaksime Yahtzee sellele teisele rullile.

Sel viisil kokku viie kaksiku veeremise tõenäosus leitakse järgmiselt:

1. Esimesel rullil on meil neli kaksikut. Kuna kahe valtsimise tõenäosus on 1/6 ja kahe kerimise 5/6, korrutame (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Mis tahes viiest täringud veeretati võiks olla mitte kaks. Kasutame oma kombinatsioonvalemit C (5, 1) = 5 jaoks, et arvutada, kui palju me saame neli kaksikut keerutada ja midagi, mis pole kaks.
3. Korrutame ja näeme, et täpselt neli kaks esimest rulli veeremise tõenäosus on 25/7776.
4. Teisel valtsimisel peame arvutama ühe kahe veeremise tõenäosuse. See on 1/6. Seega on kaksikute Yahtzee veeremise tõenäosus ülaltoodud viisil (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Mis tahes Yahtzee sel viisil veeremise tõenäosuse leidmiseks leitakse ülaltoodud tõenäosus korrutades 6-ga, kuna stantsil on kuus erinevat arvu. See annab tõenäosuse 6 x 25/46656 = 0,32 protsenti.

Kuid see pole ainus viis Yahtzee kahe rulliga kerimiseks. Kõik järgmised tõenäosused leitakse sarnaselt ülaltooduga:

• Me võiksime veeretada kolm sorti ja siis kaks täringut, mis vastavad meie teisele rullile. Selle tõenäosus on 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 protsenti.
• Me võiksime veeretada paarilise ja teisel rullida kolm täringut. Selle tõenäosus on 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 protsenti.
• Võiksime veeretada viis erinevat täringut, salvestada ühe dieedi oma esimesest rullikust, seejärel veeretada neli täringut, mis vastavad teisele rullile. Selle tõenäosus on (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 protsenti.

Ülaltoodud juhtumid on üksteist välistavad. See tähendab, et Yahtzee kahes rullis veeremise tõenäosuse arvutamiseks liidame ülaltoodud tõenäosused kokku ja meil on umbes 1,23 protsenti.

Veel keerukama olukorra jaoks uurime nüüd juhtumit, kus Yahtzee saamiseks kasutame kõiki kolme oma rulli. Me saaksime seda teha mitmel viisil ja peame neist kõigist aru andma.

Nende võimaluste tõenäosus arvutatakse järgmiselt:

• Nelja sellise, siis mitte midagi veeremise tõenäosus, et see pole midagi, siis vastab viimasele valtsile viimase stantsi väärtus 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 protsenti.
• Kolme sellist, siis mitte midagi veeremise tõenäosus, siis mitte midagi, siis sobib viimase rulli õige paariga kokku 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 protsenti.
• Sobiva paari veeremise tõenäosus, siis mitte midagi, siis kolmandas valtsis sobivuse õige kolmega vastavus on 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216) ) = 0,21 protsenti.
• Üksiku stantsi veeremise tõenäosus, siis ei vasta sellele midagi, seejärel sobib kolmandal rullil õige neljalaadse neljaga (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 protsenti.
• Kolme liiki veeremise tõenäosus, mis järgneb järgmisele rullile, millele järgneb täiendav stants kolmanda rulli viienda stantsi sobitamine on 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 protsenti.
• Paari veeremise tõenäosus, järgmisel paaril täiendava paari sobitamine, millele järgneb sobitamine kolmanda rulli viies matriits on 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 protsenti.
• Paari veeremise tõenäosus, järgmisele rullile täiendava stantsi sobitamine, millele järgneb viimasel kahel täringul kolmandal valtsil on 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 protsenti.
• Üksteise veeremise tõenäosus, teise surm, et see sobiks teisele rullile, ja siis kolmas selline kolmas rull on (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 protsenti.
• Üksteise, kolme teise valimise ja sellele järgneva mängu kokkulangemise tõenäosus on (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 protsenti.
• Omamoodi veeremise tõenäosus, paar, et see sobiks teisele rullile, ja siis veel üks paar, mis sobib kolmandal valtsil, on (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 protsenti.

Lisame kõik ülaltoodud tõenäosused kokku, et määrata Yahtzee veeremise tõenäosus kolmes täringute rullis. See tõenäosus on 3,43 protsenti.

Yahtzee tõenäosus ühes rullis on 0,08 protsenti, Yahtzee tõenäosus kahes rullis on 1,23% ja Yahtzee tõenäosus kolmes rullis on 3,43%. Kuna need kõik on üksteist välistavad, lisame tõenäosused kokku. See tähendab, et Yahtzee saamise tõenäosus antud pöördel on umbes 4,74 protsenti. Selle perspektiivi silmas pidades, kuna 1/21 on umbes 4,74 protsenti, peaks ainuüksi juhuslikult mängija ootama Yahtzee'd üks kord iga 21 pöörde järel. Praktikas võib võtta kauem aega, kuna esialgne paar võidakse loovutada millegi muu jaoks, näiteks a sirge.