Binoomjaotuse hetke genereerimise funktsioon

Juhusliku muutuja keskmine ja dispersioon X koos binoomiline tõenäosusjaotus võib olla keeruline otse arvutada. Kuigi võib olla selge, mida tuleb programmi määratluse kasutamisel ära teha oodatud väärtus kohta X ja X², on nende toimingute tegelik algebra ja summeerimise keeruline žongleerimine. Alternatiivne viis a ja keskmise määramiseks binoomjaotus on kasutada hetke genereeriv funktsioon jaoks X.

Alustage juhusliku muutujaga X ja kirjeldada tõenäosusjaotus täpsemalt. Esita n sõltumatud Bernoulli katsed, millest kõigil on õnnestumise tõenäosus lk ja rikke tõenäosus 1 - lk. Seega on tõenäosuse massifunktsioon

f (x) = C(n, x)lk^x(1 – lk)^{n - x}

Siin termin C(n, x) tähistab arvu kombinatsioone n võetud elemendid x korraga ja x võib võtta väärtusi 0, 1, 2, 3,. .., n.

Kasutage seda tõenäosusmassi funktsiooni hetke tekitava funktsiooni saamiseks X:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿe^txC(n,x)>)lk^x(1 – lk)^{n - x}.

Selgub, et saate ühendada termineid eksponendiga x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^t)^xC(n,x)>)(1 – lk)^{n - x}.

Lisaks on binoomvalemi kasutamise korral ülaltoodud väljend lihtsalt:

M(t) = [(1 – lk) + pe^t]ⁿ.

Selleks, et leida tähendama ja dispersioon, peate teadma mõlemat M”(0) ja M’’(0). Alustage tuletisinstrumentide arvutamisega ja hinnake neid siis tasemel t = 0.

Näete, et momendi genereerimise funktsiooni esimene tuletis on:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – lk) + pe^t]^{n - 1}.

Selle põhjal saate arvutada tõenäosusjaotuse keskmise. M(0) = n(pe⁰)[(1 – lk) + pe⁰]^{n - 1} = np. See ühtib väljendiga, mille saime otse keskmise määratlusest.

Variandi arvutamine toimub sarnaselt. Esiteks eristage hetke genereeriv funktsioon uuesti ja siis hindame seda tuletist punktis t = 0. Siin näete seda

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – lk) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – lk) + pe^t]^{n - 1}.

Selle juhusliku muutuja dispersiooni arvutamiseks peate leidma M’’(t). Siin teil on M’’(0) = n(n - 1)lk² +np. Dispersioon σ² teie jaotusest on

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)lk² +np - (np)² = np(1 - lk).

Kuigi see meetod on mõnevõrra kaasatud, pole see nii keeruline kui keskmise ja dispersiooni arvutamine vahetult tõenäosusmassi funktsiooni põhjal.