Tingimuslik tõenäosus: märge ja näited

Otsene näide tinglik tõenäosus on tõenäosus, et tavalisest kaardipakist tõmmatud kaart on kuningas. 52-st kaardist on kokku neli kuningat ja seega on tõenäosus lihtsalt 4/52. Selle arvutamisega on seotud järgmine küsimus: "Kui suur on tõenäosus, et me tõmbame kuninga, arvestades seda oleme juba kaardilt teki tõmmanud ja see on äss? "Siin käsitleme teki sisu kaardid. Ikka on neli kuningat, kuid nüüd on tekis ainult 51 kaarti. Kuninga joonistamise tõenäosus, kui äss on juba tõmmatud, on 4/51.

Tingimuslik tõenäosus on määratletud kui sündmuse tõenäosus, arvestades, et on toimunud teine ​​sündmus. Kui me nimetame neid sündmusi A ja B, siis saame rääkida tõenäosusest A antud B. Võiksime viidata ka tõenäosusele A sõltuv B.

Tingimusliku tõenäosuse märge varieerub õpiku järgi. Kõigis märketes osutab see, et meie viidatav tõenäosus sõltub teisest sündmusest. Üks levinumaid märkusi tõenäosuse kohta A antud B on P (A | B). Teine märk, mida kasutatakse, on Lk_B(A).

Tingimusliku tõenäosuse jaoks on olemas valem, mis seob selle tõenäosusega A ja B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Põhimõtteliselt ütleb see valem sündmuse tingimusliku tõenäosuse arvutamiseks A antud üritus B, muudame oma näidisruumi nii, et see koosneb ainult komplektist B. Seda tehes ei arvesta me kogu sündmusega A, kuid ainult see osa A mis sisaldub ka B. Meie äsja kirjeldatud komplekti saab tuttavamalt määratleda kui ristmik kohta A ja B.

Me saame kasutada algebra väljendada ülaltoodud valemit teisiti:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Selle teabe valguses vaatame uuesti üle näite, millega alustasime. Tahame teada kuninga joonistamise tõenäosust, arvestades, et äss on juba tõmmatud. Seega sündmus A on see, et me joonistame kuninga. Üritus B on see, et me joonistame ässa.

Tõenäosus, et mõlemad sündmused leiavad aset ja me tõmbame ässa ja siis kuningas vastab P (A ∩ B). Selle tõenäosuse väärtus on 12/2652. Sündmuse tõenäosus B, et me joonistame ässa, on 4/52. Seega kasutame tingimusliku tõenäosuse valemit ja näeme, et kuninga joonistamise tõenäosus kui äss on joonistatud, on (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Teise näitena vaatame tõenäosuskatset, kus me oleme veereta kaks täringut. Küsimus, mille võiksime küsida, on järgmine: "Mis on tõenäosus, et oleme kolmekesi valinud, kui arvestada, et summa on alla kuue?"

Siin sündmus A on see, et oleme valinud kolm ja sündmus B on see, et oleme jooksnud summa alla kuue. Kahe täringu veeretamiseks on kokku 36 viisi. Neist 36-st viisist saame kümnel viisil kerkida vähem kui kuus:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Mõnel juhul on tingimuslik tõenäosus A antud üritus B on võrdne tõenäosusega A. Selles olukorras ütleme, et sündmused A ja B on üksteisest sõltumatud. Ülaltoodud valem saab:

P (A | B) = P (A) = P (A = B) / P (B),

ja saame valemi, et sõltumatute sündmuste korral on tõenäosus mõlemale A ja B leitakse, korrutades kõigi nende sündmuste tõenäosused:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Kui kaks sündmust on sõltumatud, tähendab see, et üks sündmus ei mõjuta teist. Ühe mündi ja siis teise libistamine on näide iseseisvatest sündmustest. Üks mündiklapp ei mõjuta teist.

Olge väga ettevaatlik, et tuvastada, milline sündmus sõltub teisest. Üldiselt P (A | B) ei ole võrdne P (B | A). See on tõenäosus A antud üritus B ei ole sama, mis tõenäosus B antud üritus A.

Ülaltoodud näites nägime, et kahe täringu veeremisel oli kolme veeremise tõenäosus 4,10, kui arvestada, et summa alla veeresime vähem kui kuus. Teisest küljest, kui tõenäoline on, et veeretame summa, mis on väiksem kui kuus, arvestades, et oleme veerenud kolm? Kolme ja vähem kui kuue summa veeremise tõenäosus on 4/36. Vähemalt ühe kolme veeremise tõenäosus on 11/36. Seega on antud juhul tingimuslik tõenäosus (4/36) / (11/36) = 4/11.