Algebra ekvivalentsete võrrandite mõistmine

Ekvivalentsed võrrandid on võrrandisüsteemid, millel on samad lahendid. Samaväärsete võrrandite tuvastamine ja lahendamine on väärtuslik oskus, mitte ainult algebra klass aga ka igapäevaelus. Heitke pilk samaväärsete võrrandite näidetele, kuidas neid ühe või mitme muutuja jaoks lahendada ja kuidas seda oskust väljaspool klassiruumi kasutada.

Key Takeaways

Samaväärsete võrrandite kõige lihtsamatel näidetel pole muutujaid. Näiteks on need kolm võrrandit üksteisega samaväärsed:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Nende võrrandite samaväärseks tunnistamine on suurepärane, kuid mitte eriti kasulik. Tavaliselt palub samaväärse võrrandi probleem lahendada muutuja, et näha, kas see on sama (sama juur) võrrandina.

Näiteks on samaväärsed järgmised võrrandid:

• x = 5
• -2x = -10

Mõlemal juhul x = 5. Kuidas me seda teame? Kuidas lahendada see võrrandi "-2x = -10" jaoks? Esimene samm on teada samaväärsete võrrandite reegleid:

• Lisamine või sama arvu või avaldise lahutamisel võrrandi mõlemale küljele saadakse ekvivalentne võrrand.
• Võrrandi mõlemad pooled korrutades või jagades sama nullist erineva arvuga saadakse samaväärne võrrand.
• Võrrandi mõlema külje tõstmine sama veider jõud või sama paaritu juure võtmine annab samaväärse võrrandi.
• Kui võrrandi mõlemad pooled ei olenegatiivne, kui võrrandi mõlemad pooled tõstetakse samale paarisvõimsusele või võetakse sama paarisjuur, saadakse samaväärne võrrand.

Neid reegleid praktikas rakendades määrake kindlaks, kas need kaks võrrandit on ekvivalentsed:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Selle lahendamiseks peate leidma igaühe jaoks "x" võrrand. Kui "x" on mõlemas võrrandis sama, siis on nad samaväärsed. Kui "x" on erinev (st võrranditel on erinevad juured), siis pole võrrandid samaväärsed. Esimese võrrandi jaoks:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (lahutades mõlemad pooled sama arvuga)
• x = 5

Teise võrrandi jaoks:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (lahutades mõlemad pooled sama arvuga)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (jagades võrrandi mõlemad pooled sama arvuga)
• x = 5

Jah, jah, kaks võrrandit on ekvivalentsed, kuna x = 5 mõlemal juhul.

Saate igapäevaelus kasutada samaväärseid võrrandeid. Eriti kasulik on see ostlemisel. Näiteks sulle meeldib konkreetne särk. Üks ettevõte pakub särki 6 dollari eest ja selle saatmiskulud on 12 dollarit, samas kui teine ​​ettevõte pakub särki 7,50 dollari eest ja saatekulu on 9 dollarit. Milline särk on parima hinnaga? Kui palju särke (võib-olla soovite neid sõprade jaoks hankida) peaksite ostma, et hind oleks mõlemas ettevõttes sama?

Selle probleemi lahendamiseks olgu särkide arv "x". Alustuseks määrake ühe särgi ostmiseks x = 1. Ettevõttele nr 1:

• Hind = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 dollarit

Ettevõttele nr 2:

• Hind = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 dollarit

Seega, kui ostate ühe särgi, pakub teine ​​ettevõte paremat pakkumist.

Hindade võrdse punkti leidmiseks laske "x" jääda särkide arvuks, kuid seadke kaks võrrandit üksteisega võrdseks. Lahendage „x” abil, kui palju särke peaksite ostma:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9-12 (lahutamine samad numbrid või väljendid mõlemalt poolt)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (jagades mõlemad pooled sama arvuga, -1)
• x = 3 / 1,5 (jagades mõlemad pooled 1,5-ga)
• x = 2

Kui ostate kaks särki, on hind sama, olenemata sellest, kust saate. Sama matemaatika abil saate kindlaks teha, milline ettevõte pakub teile suuremate tellimuste korral paremat lahendust, ja ka arvutada, kui palju säästate ühe ettevõtte abil teisega. Algebra on kasulik!

Kui teil on kaks võrrandit ja kaks tundmatut (x ja y), saate kindlaks teha, kas kaks lineaarsete võrrandite komplekti on samaväärsed.

Näiteks kui teile antakse võrrandid:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Saate kindlaks teha, kas järgmine süsteem on samaväärne:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Et lahendage see probleem, leidke iga võrrandisüsteemi jaoks "x" ja "y". Kui väärtused on samad, siis on võrrandisüsteemid samaväärsed.

Alustage esimesest komplektist. Kahe lahendamiseks võrrandid kahega muutujad, isoleerige üks muutuja ja ühendage selle lahus teise võrrandiga. Muutuja "y" eraldamiseks toimige järgmiselt.

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15-12 aastat
• x = - (15 - 12 aastat) / 3 = -5 + 4 aastat (teises võrrandis sisestage "x")
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Nüüd ühendage "y" mõlemasse võrrandisse, et "x" lahendada:

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Selle läbi töötades saate lõpuks x = 7/3.

Küsimusele vastamiseks sina saaks rakendage samu põhimõtteid teise võrrandikomplekti jaoks, et lahendada "x" ja "y", et leida, et jah, need on tõepoolest samaväärsed. Algebras on lihtne kinni jääda, nii et tasub kontrollida oma tööd, kasutades klahvi võrrandivõrgu lahendaja.

Nutikas õpilane märkab aga, et kaks võrrandikomplekti on samaväärsed ilma raskeid arvutusi tegemata. Ainus erinevus esimese võrrandi vahel igas komplektis on see, et esimene on kolm korda suurem kui teine ​​(ekvivalent). Teine võrrand on täpselt sama.