Yahtzees väikese sirge tõenäosus ühes rullis

Yahtzee on täringumäng, mis kasutab viit standardset kuuepoolset täringut. Igal pöördel antakse mängijatele kolm veereb, et saada mitu erinevat eesmärki. Pärast iga veeretamist võib mängija otsustada, millised täringud (kui neid on) säilitatakse ja millised uuesti. Eesmärgid hõlmavad mitmesuguseid erinevaid kombinatsioone, millest paljud on võetud pokkerist. Iga erinev kombinatsioon on väärt erinevat arvu punkte.

Kaks tüüpi kombinatsioone, mida mängijad peavad keerutama, nimetatakse sirged: väike sirge ja suur sirge. Nagu pokkeri sirged, koosnevad need kombinatsioonid järjestikustest täringutest. Väikestes sirgetes kasutatakse viiest täringust neli ja suured sirged kasuta kõiki viit täringut. Täringute veeremise juhuslikkuse tõttu saab tõenäosuse abil analüüsida, kui tõenäoline on veeretada väike sirge ühe rulliga.

Eeldame, et kasutatud täringud on õiglased ja üksteisest sõltumatud. Seega on ühtlane prooviruum, mis koosneb kõigist viiest täringust koosnevast võimalikust rullimisest. Kuigi

Kuna me töötame koos ühtlaneproovipind, saab meie tõenäosuse arvutamisest paari loendusprobleemi arvutus. Väikese sirge tõenäosus on väikese sirge veeremise võimaluste arv, jagatud tulemuste arvuga prooviruumis.

Tulemuste arvu valimisruumis on väga lihtne arvestada. Me veeretame viis täringut ja igal neist täringutest võib olla üks kuuest erinevast tulemusest. Korrutamispõhimõtte põhirakendus ütleb meile, et valimi ruumis on 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 tulemust. See arv on nende murdjate nimetaja, mida me kasutame oma tõenäosuse jaoks.

Järgmisena peame teadma, kui palju on võimalusi väikese sirge veeretamiseks. See on keerulisem kui proovipinna suuruse arvutamine. Alustuseks loeme, mitu sirget on võimalik.

Väikest sirget on kergem rullida kui suurt sirget, kuid seda tüüpi sirgete veeremisviiside arvu on raskem loendada. Väike sirge koosneb täpselt neljast järjenumbrist. Kuna stantsi on kuus erinevat pinda, on võimalikud kolm väikest sirget: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} ja {3, 4, 5, 6}. Raskused tekivad seoses viienda surmajuhtumi juhtumisega. Kõigil neil juhtudel peab viies surm olema arv, mis ei moodusta suurt sirget. Näiteks kui esimesed neli täringut olid 1, 2, 3 ja 4, võiks viies surm olla midagi muud kui 5. Kui viies die oleks 5, siis oleks meil pigem suur sirge kui väike sirge.

See tähendab, et on viis võimalikku rulli, mis annavad väikese sirge {1, 2, 3, 4}, viis võimalikku rullid, mis annavad väikese sirge {3, 4, 5, 6}, ja neli võimalikku rulli, mis annavad väikese sirge {2, 3, 4, 5}. Viimane juhtum on erinev, kuna viienda stantsi korral 1 või 6 veeretamine muudab {2, 3, 4, 5} suureks sirgeks. See tähendab, et viis täringut võib meile anda väikese sirge 14 erineval viisil.

Nüüd määrame kindlaks mitu täringute komplekti veeretamise viisi, mis annavad meile sirge. Kuna me peame teadma ainult seda, kui palju selleks on võimalusi, saame kasutada mõnda põhilist loendustehnikat.

14-st erinevast väikeste sirgete saamise viisist on neist {1,2,3,4,6} ja {1,3,4,5,6} ainult kaks eraldiseisvate elementidega komplektid. Neid on 5! = 120 viisi kumbagi valtsimiseks kokku 2 x 5! = 240 väikest sirget.

Ülejäänud 12 väikest sirge saamise viisi on tehniliselt multisetid, kuna need kõik sisaldavad korduvat elementi. Ühe konkreetse multisegmendi, näiteks [1,1,2,3,4] korral loendame selle valimiseks erinevate viiside arvu. Mõelge täringule kui viis positsiooni järjest:

• Kahe korduva elemendi paigutamiseks viie täringu hulka on C (5,2) = 10 viisi.
• Neid on 3! = 6 viisi kolme erineva elemendi paigutamiseks.

Korrutamispõhimõtte kohaselt on täringute 1,1,2,3,4 valtsimiseks ühe rulli abil 6 x 10 = 60 erinevat viisi.

Selle konkreetse viienda stantsi abil on nii väikeste sirgeks veeremiseks 60 viisi. Kuna 12 tärni annab viis täringut erineva loendi, on 60 x 12 = 720 viisi väikese sirge veeretamiseks, milles kaks täringut omavahel kokku lähevad.

Kokku on 2 x 5! + 12 x 60 = 960 võimalust väikese sirge rullimiseks.

Nüüd on väikese sirge veeremise tõenäosus lihtne jaotusarvutus. Kuna väikese sirge sirvimiseks ühe rulliga on 960 erinevat moodust ja on 7776 rulli viis täringut, on väikese sirge veeremise tõenäosus 960/7776, mis on lähedane 1/8 ja 12.3%.

Muidugi on tõenäolisem kui mitte, et esimene rull pole sirge. Kui see on nii, siis lubatakse meile veel kaks rulli, mis teeb väikese sirge palju tõenäolisemaks. Selle tõenäosust on kõigi võimalike olukordade tõttu palju keerulisem kindlaks teha.