Juhuslike muutujate funktsioonide genereerimise hetk

Üks viis a keskväärtuse ja dispersiooni arvutamiseks tõenäosusjaotus on leida eeldatavad väärtused juhuslike muutujate hulgast X ja X². Me kasutame märget E(X) ja E(X²) nende eeldatavate väärtuste tähistamiseks. Üldiselt on seda keeruline arvutada E(X) ja E(X²) otse. Sellest raskusest üle saamiseks kasutame mõnda täpsemat matemaatilist teooriat ja arvutusmeetodeid. Lõpptulemus on midagi, mis muudab meie arvutused lihtsamaks.

Selle probleemi strateegiaks on uue funktsiooni, uue muutuja määratlemine t seda nimetatakse hetke tekitavaks funktsiooniks. See funktsioon võimaldab arvutada hetki lihtsalt tuletiste abil.

Enne momendi genereerimise funktsiooni määratlemist alustame etapi märkimise ja määratlustega. Me lasime X olla a diskreetne juhuslik muutuja. Sellel juhuslikul muutujal on tõenäosusmassi funktsioon f(x). Näidisruumi, millega me töötame, tähistame S.

Eeldatava väärtuse arvutamise asemel X, tahame arvutada eksponentsiaalse funktsiooni eeldatava väärtuse, mis on seotud X. Kui on positiivset

Hetke genereeriv funktsioon on ülaltoodud eksponentsiaalse funktsiooni eeldatav väärtus. Teisisõnu, me ütleme, et hetke genereeriv funktsioon X on andnud:

M(t) = E(e^tX)

See eeldatav väärtus on valem Σ e^txf (x), kus summeerimine võetakse üle kõik x sisse proovipindS. See võib olla piiratud või lõpmatu summa, sõltuvalt kasutatavast proovipinnast.

Hetke genereerival funktsioonil on palju funktsioone, mis ühendavad tõenäosuse ja matemaatilise statistika teiste teemadega. Selle kõige olulisemate funktsioonide hulka kuuluvad:

• Koefitsient e^tb on tõenäosus, et X = b.
• Hetke genereerivad funktsioonid omavad ainulaadsust. Kui kahe juhusliku muutuja hetke genereerivad funktsioonid vastavad üksteisele, peavad tõenäosuse massifunktsioonid olema samad. Teisisõnu, juhuslikud muutujad kirjeldavad sama tõenäosusjaotust.
• Hetke genereerimise funktsioone saab kasutada hetke hetke arvutamiseks X.

Ülaltoodud loendi viimane element selgitab momenti genereerivate funktsioonide nime ja nende kasulikkust. Mõni arenenud matemaatika ütleb, et meie välja pandud tingimustel on funktsiooni mis tahes järjekorra tuletis M (t) eksisteerib kui t = 0. Lisaks võime sel juhul muuta summeerimise ja diferentseerimise järjekorda t järgmiste valemite saamiseks (kõik summeerimised ületavad väärtusi x prooviruumis S):

• M’(t) = Σ xe^txf (x)
• M’’(t) = Σ x²e^txf (x)
• M’’’(t) = Σ x³e^txf (x)
• M⁽ⁿ⁾’(t) = Σ xⁿe^txf (x)

Kui me seame t = Ülaltoodud valemites 0, siis e^tx tähtajaks saab e⁰ = 1. Nii saame valemi juhusliku muutuja hetkedeks X:

• M’(0) = E(X)
• M’’(0) = E(X²)
• M’’’(0) = E(X³)
• M⁽ⁿ⁾(0) = E(Xⁿ)

See tähendab, et kui hetke genereeriv funktsioon eksisteerib konkreetse juhusliku muutuja korral, võime leida selle keskpunkti ja variatsiooni hetke genereeriva funktsiooni tuletiste osas. Keskmine on M”(0) ja dispersioon on M’’(0) – [M’(0)]².

Kokkuvõtlikult: pidime tundma õppima mõnda ülivõimsat matemaatikat, nii et mõned asjad läksid üle. Kuigi peame ülaltoodud jaoks kasutama arvutusmeetodeid, on lõpuks meie matemaatiline töö tavaliselt lihtsam kui momentide otse definitsioonist arvutamine.