Eksponentsiaalne lagunemine ja protsentuaalne muutus

Kui algsummat vähendatakse kindla aja jooksul kindla määraga, eksponentsiaalne lagunemine toimub. Selles näites näidatakse, kuidas töötada välja püsiv kiiruseprobleem või arvutada sumbumistegur. Lagunemisteguri mõistmise võti on õppimine protsenti muutus.

Järgnev on eksponentsiaalse lagunemise funktsioon:

y = a (1 –b)^x

kus:

• "y" on lõplik summa, mis jääb teatud aja jooksul pärast lagunemist alles
• "a" on algsumma
• "x" tähistab aega
• Lagunemistegur on (1 –b).
• Muutuja b on kümnendvormi muutus protsentides.

Kuna see on eksponentsiaalne lagunemistegur, keskendub see artikkel languse protsendile.

Kolm näidet aitavad illustreerida protsentuaalset langust:

Kreekas on tohutu rahaline koormus, kuna ta võlgneb rohkem raha kui ta suudab tagasi maksta. Selle tulemusel üritab Kreeka valitsus vähendada kulutatud kulusid. Kujutage ette, et ekspert on Kreeka juhtidele öelnud, et nad peavad kulutusi vähendama 20 protsenti.

• Milline on Kreeka kulutuste protsentuaalne vähenemine b võrra? 20 protsenti
• Milline on Kreeka kulutuste langusfaktor?

Kõdunemistegur:

(1 - b) = (1 - 0,20) = (.80)

Kuna Kreeka vähendab seda valitsuse kulutused, ennustavad eksperdid, et riigi võlg väheneb. Kujutage ette, kas riigi iga-aastast võlga saaks modelleerida selle funktsiooni abil:

y = 500 (1–30)^x

kus "y" tähendab miljardeid dollareid ja "x" tähistab aastate arvu alates 2009. aastast.

• Milline on Kreeka aastavõla protsendiline vähenemine b võrra? 30 protsenti
• Milline on Kreeka aastavõla kahanemistegur?

Kõdunemistegur:

(1 - b) = (1 - .30) = .70

Kui Kreeka on vähendanud valitsuse teenuseid ja palku, kujutage ette, et need andmed kajastavad Kreeka prognoositavat aastavõlga.

• 2009: 500 miljardit dollarit
• 2010: 475 miljardit dollarit
• 2011: 451,25 miljardit dollarit
• 2012: 428,69 miljardit dollarit

A. Valige kaks järjestikust aastat, et võrrelda: 2009: 500 miljardit dollarit; 2010: 475 miljardit dollarit

B. Kasutage seda valemit:

Langus protsentides = (vanem - uuem) / vanem:

(500 miljardit - 475 miljardit) / 500 miljardit = 0,05 või 5 protsenti

C. Kontrollige järjepidevust. Valige veel kaks järjestikust aastat: 2011: 451,25 miljardit dollarit; 2012: 428,69 miljardit dollarit

(451,25 - 428,69) / 451,25 on umbes 0,05 või 5 protsenti

Sool on Ameerika vürtsiriiulite säde. Glitter muudab ehituspaberi ja toorjoonised hellitatud emadepäeva kaartideks; sool muudab muidu mahedad toidud rahvuslikeks lemmikuteks. Soolarohkus kartulikrõpsudes, popkornis ja potikoogis maitsestab pungi.

Kahjuks võib liiga palju maitset hea asja ära rikkuda. Raskekäeliste täiskasvanute käes võib liigne sool põhjustada kõrget vererõhku, südameinfarkti ja insulti. Hiljuti kuulutas üks seadusandja välja õigusakte, mis sunnivad USA kodanikke ja elanikke vähendama tarbitavat soola. Mis saab siis, kui soola vähendamise seadus vastu võetakse ja ameeriklased hakkavad vähem mineraale tarbima?

Oletame, et igal aastal anti restoranidele volitus alandada naatriumi taset 2,5 protsenti aastas, alates 2017. aastast. Infarkti prognoositavat langust saab kirjeldada järgmise funktsiooni abil:

y = 10 000 000 (1–10)^x

kus "y" tähistab südameatakkide arvu aastas pärast "x" aastat.

Ilmselt oleks seadusandlus oma soola väärt. Ameeriklasi vaevab vähem lööke. Siin on väljamõeldud prognoosid iga-aastaste löökide kohta Ameerikas:

• 2016: 7 000 000 lööki
• 2017: 6 650 000 lööki
• 2018: 6 317 500 lööki
• 2019: 6 001 625 lööki

Milline on soola tarbimise kohustuslik protsent langus restoranides?

Vastus: 2,5 protsenti

Selgitus: Prognooside kohaselt väheneb kolm erinevat asja - naatriumitase, südameatakk ja insult. Igal aastal anti restoranidele volitus alandada naatriumi taset 2,5 protsenti aastas, alates 2017. aastast.

Milline on soolade tarbimise kohustuslik lagunemistegur restoranides?

Vastus: .975

Selgitus: lagunemistegur:

(1 - b) = (1 - 0,25) = 0,975

Milline oleks prognooside põhjal protsent aastasest südameinfarktist?

Vastus: 10 protsenti

Selgitus: südameatakkide prognoositavat langust saab kirjeldada järgmise funktsiooni abil:

y = 10 000 000 (1 - .10) x

kus "y" tähistab südameatakkide arvu aastas pärast "x" aastat.

Milline on ennustuste põhjal aastane südameinfarkt?

Vastus: .90

Selgitus: lagunemistegur:

(1 - b) = (1 - .10) = 0,90

Milline langeb nende väljamõeldud prognooside põhjal Ameerikas löökide protsent?

Vastus: 5 protsenti

Selgitus:

A. Valige kahe järjestikuse aasta andmed: 2016: 7 000 000 lööki; 2017: 6 650 000 lööki

B. Kasutage seda valemit: vähenemine protsentides = (vanem - uuem) / vanem

(7 000 000 - 6 650 000) / 7 000 000 = 0,05 või 5 protsenti

C. Kontrollige järjepidevust ja valige andmed järjestikuste aastate jaoks järgmiselt: 2018: 6 317 500 lööki; 2019: 6 001 625 lööki

Vähenemine protsentides = (vanemad - uuemad) / vanemad

(6 317 500 - 6 001 625) / 6 001 625 umbes 0,05 või 5 protsenti

Milline saab nende väljamõeldud prognooside põhjal Ameerikas löökide lagunemistegur?

Vastus: .95

Selgitus: lagunemistegur:

(1 - b) = (1 - 0,05) = 0,95

Toimetanud Anne Marie Helmenstine, Ph.